>台集合を使わない2つ組のペアノシステム」の具体的な定義
こんな感じでどうだろう。
写像を使わずに定めてみようと思う。
３つ組のペアノシステムと混同しないように、ここでは「自然数系」と定義する事にする。

(f, s)という二つ組から{f, (s f), ((s (s f)), ... }という台集合を作った時、以下の２つの性質を持つならば、この(f,s)を「自然数系」と呼ぶ。
1. f=(s n) となるようなnが台集合の元に存在しない。
2. 任意の台集合の元nに対して、nと(s n)が一対一の関係である。


(f,s)が自然数系である ⇔ (台集合,f,s)がペアノシステムである
ってなってれば成功だけどどうだろう。