問題2の方は確かにそうだなあ。
これは投稿してからすぐに気づいた。さすがに鋭いね。
「...」の部分をちゃんと定義するとしたら結局ペアノシステム1.2.3.5.と同じ事やらないとダメそうだし。
それやるとこの議論の振り出しに戻るって感じになっちゃう。

問題なのは本来ならば関係ってのは常に対象がどの集合なのか気にしなくちゃいけないのに俺がそれをおろそかにしてるって事だよね？
確かに大体の書とか解説サイトだとほとんどそれを明示してる。

でもそれってただの慣習であって別に形式主義的には間違ってないと思うんだけども。
この集合が対象ですと明示してる訳じゃないんだから論理学でいう「項」全てが対象になってるって事。

対象をある集合に限定するってのはだいぶ前から自分の中で腑に落ちてないんだよね。
今回みたいにペアノシステムを２つ組で定義できたら正誤は置いといて綺麗な定義だと思うんだけどどう？
だって直感的には先頭が1で後者が÷2だと台集合になりそうなのは一つに定まりそうだし。
先頭と後者が違うのでも同じ事。台集合は一つに定まりそう。
正誤を抜きにしてもこの考え方に賛同してもらえないかな。
これは論理じゃなく貴方の感覚に聞きたい。

>(s f) や (s (s f)) といった対象を集合論の中でどのように定義するつもりなのか？
これの対象は任意の項って事にしたい。
(1, ÷2)で言えば数じゃないものに対しては「未定義」というだけ。０除算と同じ事。
どれが未定義なのかは自然数系の中では興味がない。ただそれだけの事。
日本語じゃなくて述語論理で定義すれば一応そういう意味になるでしょ？