〔補題〕
正の実数a,b,cに対して
[1]　(b/a) + (c/b) + (a/c) - {a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)} ≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc} ≧ 3/2,
[2]　a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ (a+b+c)^2 /2(ab+bc+ca) ≧ 3/2,

(略証)
[1]
(左辺) - (右辺)
　= ab/(c(b+c)) + bc/(a(c+a)) + ca/(b(a+b))
　= (ab+bc+ca)^2 /{abc[(b+c) + (c+a) + (a+b)]}
　≧ (ab+bc+ca)^2 /{2(a+b+c)abc},　　　(←コーシー)
　JMO-2004、[初代スレ.058]

[2]　もコーシーで出る。

なお、1/a = A, 1/b = B, 1/c = C とおくと
　(ab+bc+ca)^2 /{(a+b+c)abc} = (A+B+C)^2 /(AB+BC+CA),
　(a+b+c)^2 /(ab+bc+ca) = (AB+BC+CA)^2 /{(A+B+C)ABC},

(類) Nesbitt-Igarashi　　>>627　>>835