3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない.

◎奇数（素数）の場合

奇数は、全部、素数の倍数になっているので、
素数の場合だけ、証明すればいいので。

(A＾Pは、AのP乗という意味）

フェルマーの小定理より
Pを素数とするとき、
α＾P　−　α　≡　０　（mod P)
（ただし、αとPは、互いに素、つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする）

ｎが素数のとき
ｎ　＝　P　として
x＾n + y＾n = z＾n　を変形すると

X＾P　＋　Y＾P　＝　Z^P を変形して下の式のように変形する。

X＾P　−　X　＋　Y＾P　−　Y　　＋　X　＋　Y　＝　Z＾P　−　Z　＋　Z

フェルマーの小定理より、
Pが素数の場合、
α＾P - α の形のものは、Pで割り切れるので
Pの倍数になる。
（ただし、αとPは、互いに素、つまり、P を素数とし、α を P の倍数でない整数とする）

ゆえに
X＾P　-　X　＝　PA　, Y^P - Y = PB , Z^P - Z = PC とおくと、

PA＋PB＋X＋Y　＝　PC　＋　Z

P（A＋B−C）　＝　Z　-X -Y

A＋B−C　＝　Z/P　-X/P -Y/P



フェルマーの小定理より
X≠P,Y≠P,Z≠ｐで、XもYもZもPの倍数ではない。
ゆえに
（A、B、Cは、自然数なので、Z,　-X,　-Y,がPで割れないと　自然数にならないので、
式が成り立たない。）


∴
3 以上の自然数 n について、
x＾n + y＾n = z＾n となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、
という定理の証明。

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