現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48

“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

>>235 訂正

ビックカメラ
　↓
ビックリカメラ
（＾＾

>>233
＞なぜ、過去にその定理と証明が無かったのか？

我々が文献を発見できてないだけで、絶対に同じ発見が
既に成されていると俺は推測する、と何度も述べている。

>>235
＞そのなぞが解けない限り、うっかり乗せられたら、ビックカメラかも知れないと思っているよ

詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、

「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」

という状況を想定しているのだと思われるが、この理屈が通るのは、
そもそもこの定理に何の興味もなくてスルーしたいときだけである。

「わたくしスレ主はその定理の成否に興味がないので、
　うっかり乗せられた挙句に徒労に終わったら たまったものではありません。」

このような理屈なら、筋が通る。しかし、お前はそうではない。お前は

・ たった2ページの証明は読みたがらないが、反例モドキを探すことには興味がある

のである。つまり、定理の成否そのものには興味があるのである。ならば、
その定理の根拠が明確に書いてある「たった2ページの証明」を避け続けるのは
極めて不自然である。証明の間違いが直接的に発見できたなら、その時点でスレ主に
軍配が上がることになり、決着がつくのだから、むしろ それはスレ主が望んでいることであろう。

別の言い方をすると、定理の成否に興味がある時点で、「うっかり乗せられる」という発想は
決して出てこないはずなのである。そこがスレ主の詭弁である。

>>236
私は証明PDFを読んだ結果が>>234だけど？ちゃんと私のレス読んだ？

スレ主　国語　国語

証明pdfのline2-7に吹いた
スレ主に理解させるにはここまで書かなきゃいけないのかと
そしてそれを読めないスレ主にも吹いた

>>241
> 証明pdfのline2-7

ページ2のline2-7ね
どんな易しい本もここまでは書かないよ

>>239-242 & >>231
どうも。スレ主です。
BLACKXちゃんの日本語難しいわ

「私も読んでみたけど兼ね問題なく理解できた」は、
何を読んで、何がどう理解できたと？（＾＾

で、いま問題にしているのは、「証明が正しいかどうか」であって、「理解できた」では、「証明が正しい」との間には、ギャップがあるけどね（普通の数学の会話では）
「変形切断幕いわゆるポップコーン関数でも成り立つと考えられるから」も意味わからんかったな〜（＾＾

まあ、「証明が正しい」と言いたいんだろう
お一人、「証明が正しい」という人が増えて、今二人か

さあさあ、あとは、無いか無いか

>>238
>詭弁である。お前が言うところの「うっかり乗せられたら」というのは、
>「騙されたと思って証明を読んでみたら、やっぱり間違ってて徒労だった」
>という状況を想定しているのだと思われるが、

いや、”徒労”も少しあるが、
懸念しているのは、”騙される”ってやつよ
「だんな、この話は儲かりますよ」という類いで、一つ一つのロジックは一見もっともだが、全体としては「なんか可笑しい」ということ。これよくあること
だから、定理の真贋を見極めるのが先だと。そのために、その定理が既存の数学理論の中でどう位置付けられるのかを調べている

>>224
いや、講義はありがたいが、下記

”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

で、話は通常の実数Rで、f : R → Rは、不連続を許す、１変数一価関数でだと。
そこに、通常のいわゆる自然な（アルキメデス）距離を、入れる。

１次元のユークリッド空間と、(x,y)で２次元までで可だと
だから、難しい位相はちょっと置いておいて

”内点を持たない閉集合”とは、「ある１点から成る集合」と簡単に書けば良いのでは？
それから、”Bf :={x ∈ R・・”なのだから、これは１次元の話で、R−Bf も同様に１次元の話

”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
違ったらそう言ってくれ

>>225
>大間違い。カントール集合は内点を持たない。

ああ、そうかも。まあ、”カントール集合は内点を持たない”は、
「孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。
ユークリッド空間における離散部分集合は可算である
（これは有理数全体のなす集合 Q が実数全体のなす集合 R において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。」（>>141）
から即断して例示したが、カントール集合は離散集合ではないのか？

群を抜くスレ主の頭の悪さ

こんなのを相手にまともに答えてる人が実在する奇跡

>>246
＞カントール集合は離散集合ではないのか？

レベルが低すぎて お話にならんなｗ
カントール集合は内点を持たない閉集合で、かつ 非 可 算 無 限 集 合 である。
離散集合は自動的に可算なので、カントール集合は離散集合にならない。

>>245
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”とは、単に、
＞「分散された『ある１点から成る集合』の高々可算和である」と平易に表現して良いのでは？
＞違ったらそう言ってくれ

ぜんぜん違う。「内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるもの」が存在する。
従って、「1点から成る集合の高々可算和」に限定すると、定理の主張が弱くなってしまう。

>>247
＞”R−Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？

スレ主が持ってきた「3」と「4」の2つの例では、どちらも被覆「できる」。
なぜなら、どちらの例でも R−Bf ＝ {0} が成り立つからだ。
スレ主は何かを盛大に勘違いしている。何を勘違いしているのかは俺にも分からない。
質問の意図も不明瞭である。一応、以下で回答する。


＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ

質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？

「 x＝π と x＝√2 の２点においてリプシッツ不連続である」

のような、具体的な形で答えよ。また、何度も言うように、「内点を持つよ」という書き方だけでは意味が定まらない。
内点とは集合とセットで用いられる概念である。どのような集合の内点を考えているのか、その「集合」を明示せよ。

ちなみに、「3」の関数でも「4」の関数でも、R−Bf ＝ {0} が成り立つので、リプシッツ不連続点は x＝0 の一点のみである。
特に、R−Bf は内点を持たないし、R−Bf は「内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」ことになる。
なので、スレ主は何かを盛大に勘違いしている。

補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、

「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」

……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
「3」の関数でも「4」の関数でも、

・ x≠0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0
・ x＝0 のとき limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞

という性質が成り立つことが確かめられるので、それらの関数のリプシッツ不連続点は、どちらの関数でも
「 x＝0 のみ」であり、よって R−Bf ＝ {0} である。一方で、スレ主は何かを盛大に勘違いしつつ
「リプシッツ不連続点は左右２点ある」などと言っているので、繰り返しになるが、どの２点のことを
言っているのか、具体的に答えよ。より明確に解答形式を指定すると、

「 3 の関数は x＝√2 と x＝e^e の２点においてリプシッツ不連続である」
「 4 の関数は x＝−1 と x＝2017 の２点においてリプシッツ不連続である」

のような形で答えよ。

>>155のスレ主の

＞「< +∞」の解釈が問題となる

というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
スレ主は R−Bf がどういう集合を意味するのか
理解してないのかもしれない。

――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R → R に対して、

B_f：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }

と定義したのだった。このとき、

R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }

が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

これが成り立つことは理解してるだろうな？

>>233
> いや、いま職場からだから、簡単にな

スレ主はさっさと仕事を辞めて、
数学に集中すべし‼

>>251
おれは、「”R−Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？
調べた限りでは、無かった
だから、そこから独自理論？

>＞このリプシッツ”不”連続は、１点で被覆できるのか？ 少なくとも、左右２点が、リプシッツ”不”連続ではないのか？
>＞もし、異なる２点がリプシッツ”不”連続で、その２点間もリプシッツ”不”連続が言えるなら、内点を持つよ
>質問の意味が全く不明。左右2点とはどの2点のことを言っているのか？なぜ具体的な形で答えないのか？

リプシッツ連続、リプシッツ”不”連続とも、本来２点を考えた数学概念じゃないのか？
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”とあるように、異なる２点yとxが有って成り立つのが基本だろう
たしかに、”< +∞ ”と書いてあるところがミソかもしれんが・・

もう一度聞くが、「どこかの標準テキストにあるのか？」

>>252
>補足になるが、一応、「一点でのリプシッツ連続・不連続」を復習しておく。前スレだかこのスレだかに書いたように、
>
>「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。

この定義は、「どこかの標準テキストにある？」、それとも、あなたの独自定義？

>>256
> >……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。
>
> この定義は、「どこかの標準テキストにある？」、それとも、あなたの独自定義？

（横レスだが言わせてくれ）

おまえが言い出した『一点でのリプシッツ連続・不連続』なる独自用語に
わざわざ付き合ってやってるんだろうが！！！！！！！（呆）

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/603
＞リプシッツ不連続な点（それは内点を持たないとする）が可算無限個あって、それら可算無限個の点が、有理数のようにR中に稠密に分散されているとし、
＞もちろん、リプシッツ不連続な点以外は、全てリプシッツ連続で、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ } を満たすとする。
＞「そういう関数は、数学的に存在しえない！」

R上の関数におけるリプシッツ連続とは、本来は「区間」の上で定義される概念であり、
「一点におけるリプシッツ連続」という言葉遣いは見たことが無い。あえて定義するなら、

「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続である」

という定義を採用するのが自然だと思われる。

>>255
> おれは、「”R−Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？

（もうひとつ横レスだが言わせてくれ）

オマエは

１）定理1.7『A⇒B』が成立するためには『Aが真でなければならない』と思っているのか？（呆）

それとも

２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）


率直に言って、君は数学に向いてないぞ

手取り足取り教えられても理解できないスレ主の頭の悪さは尋常でない

>>237 訂正

ビックカメラ
　↓
ビックリカメラ
　↓
ドッキリカメラ

かな？
（＾＾

>>257-258

どなたかな？
定理の本人じゃないと？

単純に
定理の条件
”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
が１個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが？

なんか、ごまかしてないか？

>>258
>率直に言って、君は数学に向いてないぞ

小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
もちろん、大部の本で「取りあえず飲み込んで先に進む」という勉強法も必要だと思うが
いまの場合、飲み込んで先に進んでも何もないだろう

> ２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）

論理のすり替え
単なる一点部分集合ではない

未定義だが、一か所という言葉を使う
一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ

>>261
> なんか、ごまかしてないか？

ごまかしてないよ

> ２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）

って言ってるじゃん。R-Bfが一点集合｛0｝やQなら被覆できるじゃん。何の文句があるんだよ

>>257
>「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
>という定義を採用するのが自然だと思われる。

その定義なら、補集合は開集合にならないか？

勘違いだらけのお馬鹿をあそこまで根気良く相手にする>>253氏には心底感心するわ
↓こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。

>>253 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/19(火) 01:08:34.31 ID:eFT4s0P8
> >>155のスレ主の
>
> ＞「< +∞」の解釈が問題となる
>
> というアホな発言を思い出したのだが、もしかしたら、
> スレ主は R−Bf がどういう集合を意味するのか
> 理解してないのかもしれない。

>>263
>R-Bfが一点集合｛0｝やQなら

これの証明が標準テキストにあかどうかだ
それを聞きたい

>>266 訂正

これの証明が標準テキストにあかどうかだ
　↓
これの証明が標準テキストにあるかどうかだ

>>266
> > R-Bfが一点集合｛0｝やQなら
> これの証明が標準テキストにあかどうかだ
> それを聞きたい

R-Bfが一点集合｛0｝になりうるかどうかを聞きたいってこと？
⇒そのようなfの例はすでに出てるじゃん。

Rの一点集合｛0｝が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと？
Rの部分集合｛0｝は内点を持たない閉集合なんだから1個の閉集合で被覆できてるじゃん。

何が聞きたいのか何が分からないのか俺には分からん。

>>268

知りたいことは
下記
”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
とあるけど

単純に、リプシッツ連続とリプシッツ不連続にも、この（Gδ-集合）と（Fσ-集合）の理論を類推適用してないかな？
で、標準テキストでは、「リプシッツ連続とリプシッツ不連続に、類推適用して良いとなっていない」ように思うが・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり)

>>269
あのね君、まず>>268の質問に答えろよ
オマエの日本語>>261がまずいから
> ”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”
> が１個の閉集合の場合に標準テキストにあるかどうかを問うているのだが？

こちらはオマエの日本語を一生懸命解釈して

> R-Bfが一点集合｛0｝になりうるかどうかを聞きたいってこと？

> Rの一点集合｛0｝が『内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる』かどうかを聞きたい、ってこと？

って聞いてるんだからさ。このどちらでもないならそもそも質問の日本語がおかしいだろ。

>>269
> ”函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
> 理論を類推適用してないかな？

なんでリプシッツ連続の話をしてるのに連続の話になるの？
いままでそんな話おまえ以外にしたか？

>>264
> >>257
> >「 f が点xにおいて limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ を満たすとき、f は一点xにおいてリプシッツ連続であ>る」
> >という定義を採用するのが自然だと思われる。
>
> その定義なら、補集合は開集合にならないか？

あるx∈RのみがB_fの要素の場合を考えてるってこと？
そのときR-B_fが開集合で『疎な閉集合の可算和で覆えない』として、いったい何が問題なの？
定理1.7の仮定にmatchしないんだから反例にならないでしょ。

>>262
> 一か所リプシッツ不連続点x=0を持つ階段関数とかが、その箇所を『内点を持たない閉集合で被覆できる』と言えるかどうかが、問題だ

一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合｛0｝なら疎な閉集合｛0｝で被覆できるだろ。
一体何が問題なんだよ・・・・・

>>273

>一か所リプシッツ不連続点だろうが微分不可能点だろうがそれがRの一点部分集合｛0｝なら疎な閉集合｛0｝で被覆できるだろ。

>>252に定義があるだろ？
下記

>「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ連続であるという 」
>「 limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つとき、f は一点 x でリプシッツ不連続であるという 」
>
>……というのが、一点でのリプシッツ連続・不連続の定義である。この定義に当てはめて考え直してみよ。

”limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ が成り立つ”では、
＋∞への発散は、イブシロンデルタを使うのが本当だと思うよ

そうすると、イブシロンデルタの範囲では、決してyとxは、一点に重ならない
だから、一点部分集合｛0｝とは言えないだろう

イブシロンデルタの範囲では、ε近傍（開集合）で被覆できるとすべきじゃないのかね？

だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと

別の人のレスと重複するところもあるが、俺からの返答。


[一点でのリプシッツ連続・不連続という言葉について]

別の人が既に指摘しているし、俺も前スレで書いているように、そもそも俺は
このような言葉を聞いたことが無い。敢えて定義するなら >>252 のように
定義するのが自然だろう、という話を前スレで行った。そして、前スレの

ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/635

で書いたように、「一点でのリプシッツ条件」という言い方をした方がよい、とも書いた。

その後、スレ主は >>252 の定義に異論を唱えることをせず、しかも「一点でのリプシッツ条件」という言葉は
使わずに「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使い続けた。従って、スレ主もまた、>>252 の用法で
「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉を使うことに「合意した」のだと俺は解釈しているのだが、
なぜかスレ主は今になって この言葉の定義を蒸し返している。お話にならない。

そして、根本的な話をすると、B_f という集合は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな用語とは無関係に定義されているのだから、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という
ヘンな言葉を使わなくても、R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるかどうかは
機械的に判定可能である。

まとめると、スレ主は、「一点でのリプシッツ連続・不連続」という全く不必要な言葉を振り回した挙句に、
その言葉が持つ表面的な響きに引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っていることになる。

>>274
> イブシロンデルタの範囲では、ε近傍（開集合）で被覆できるとすべきじゃないのかね？

相当混乱しとるな

何を被覆するの？
リプシッツ不連続点でしょ？
それが一点部分集合｛0｝であれば、それは被覆できる。
それが疎な閉集合の可算和でなければ被覆できない。
ただそれだけじゃん。

それとも君は一点で不連続、という関数は存在しないとでも思っているのか？

今回の件を踏まえて、これ以降、俺の方からは「一点でのリプシッツ連続・不連続」という言葉は
二度と使わないことにする。

B_f ：＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }

という、数式だけで書かれた明確な定義があるのだから、わざわざヘンな言葉を持ち出さずとも、
この定義だけから機械的に判定していけばよいのである。

・・・という約束のもとで、さらにレスを続ける。
まずは、R−B_f がどういう集合になるのかを明記する。実は

R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }

が成り立つ。おそらくスレ主はこのことを全く理解していない。
なので、次からの３レスで、このことを解説する。

ID:eFT4s0P8氏が戻ったので一旦引きます

[ 解説１, limsup の定義 ]

g：R → R と x∈R に対して、limsup[y→x] g(y) を定義する方法は主に２つある。

１つ目の定義の仕方：
拡大実数を X と書くことにする。R ⊂ X が成り立つことに注意して、任意の δ＞0 に対して

{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} ⊂ X

が成り立つので、X の中に sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が常に定まる。
よって、X の中に inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が常に定まる。
この値のことを limsup[y→x] g(y) と定義する。すなわち、

limsup[y→x] g(y)：＝ inf[δ＞0] sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ} (右辺は X の中で定まる値)

と定義する。この定義では、limsup[y→x] g(y) ∈ X が成り立つ。

２つ目の定義の仕方：
拡大実数を持ち出さずに、集合 { g(y)｜0＜|y−x|＜δ} が δ＞0 に応じてどんな挙動を示すかで場合分けし、
ツギハギで定義する方法がある(ツギハギの詳細は面倒くさいので省略)。この方針で定義する利点は、
「拡大実数がいらない」という点だけであり、定義の仕方としては美しくない。しかも、こちらの定義では
「 limsup[y→x] g(y)＝＋∞ 」や「 limsup[y→x] g(y)＝−∞ 」が形式的な表記として導入されるので、
±∞ の取り扱いが形式的なものになる。しかし、大学1年程度の微積分では、この定義が用いられることがある。
ちなみに、得られる limsup の性質は、拡大実数を用いて定義したものと同じになる。
というか、同じになるような定義を、拡大実数を用いずにツギハギで構成しているだけ。

[ 解説２, limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味 ]

１つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
α＝limsup[y→x] g(y) と置くと、これは X の元なのだった。また、＋∞ も X の元である。よって、

limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞

という不等式は、

α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X

という、X の中での普通の不等式を意味する。この時点で意味が定まっているのだから、これで終わり。
ただし、＋∞という記号が出てこない書き方も可能である。実際、拡大実数の性質により、
「 α＜＋∞, α∈X, ＋∞∈X 」という条件から

「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」

ことが言える。よって、limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ という記号列は、

「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」

という意味である、… とも書ける。

２つ目の定義における limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ の意味：
こちらの場合、「 limsup[y→x] g(y) ＜ ＋∞ 」という表記法自体がそもそも形式的な表記として導入され、
その意味は そもそも「ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x] g(y)＜C が成り立つ」と定義される。

[ 解説３, R−B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } が成り立つ理由 ]

２つの定義それぞれに対して、R−B_f ＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } が成り立つことを
以下で解説する。まず、１つ目の定義で limsup を定義した場合の

B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜＋∞ }

について見ていく。１つ目の定義では、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜は拡大実数 X の中の元であるから、
拡大実数の性質により、自動的に

R−B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }

が成り立つ。これで終わりｗｗ
あるいは、１つ目の定義において、「 α＜＋∞ 」は「ある実数 C＞0 が存在して α＜C が成り立つ」
という意味にもなることが拡大実数の性質により導かれるのだった。よって、

B_f＝{ x∈R｜ある実数 C＞0 が存在して limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＜C が成り立つ } … (1)

とも表せることになるので、この表現を使うと

R−B_f＝{ x∈R｜任意の実数 C＞0 に対して limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜≧C が成り立つ } … (2)

と表せることになる。ここで、「任意の実数 C＞0 に対して α≧C が成り立つ」という性質を満たす α∈X は
α＝＋∞ しかないことが拡大実数の性質により導かれるので、自動的に

R−B_f＝{ x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } … (3)

が導かれる。よって、１つ目の定義では、いずれにしても (3) が成り立つ。
２つ目の定義では、そもそも (1) の意味として出発することになる。この場合、
「ツギハギの定義」と見比べることで、やはり (3) が導出される(詳細は省略)。

以上により、

R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }

となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R−B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。

「3」の関数の場合：

・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。

以上より、この f の場合は { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。

「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。

以上より、この f の場合も { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。

従って、「3」「4」の関数に対して「 R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。

取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。

>>284
素晴らしい解説ありがとう（＾＾
すぐには理解できないので、それはじっくり読むよ

ところで、本当に標準テキストにそれはないのか？ 自分で検索した範囲では見つからず。
リプシッツ不連続な点が、１点で被覆できるか、それともε近傍になるかくらい、基礎の基礎だと思うんだが？

そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
もし、初出なら勿体ないよ

おっちゃんです。
横から割り込む形になり申し訳ないが、
そこまでε-δやε-近傍にこだわりたいなら、以下の証明でどうだい。

[命題]　Iを開区間とする。連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明)　[第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c−a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c−b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、 max(|c−a|, |c−b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。

(>>286の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで微分可能なことから
cで連続だから、Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c−x|＜M のとき |f(c)−f(x)|＜A となる。
|c−x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)−f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c−x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c−x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)−f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
�@)：|c−x_{i,n}|＜M、|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
�A)：|c−x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)−f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c−x_{i,1}|＜M、|f(c)−f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c−x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。

(>>287の続き)
[第３段]：正の実数εと実数aとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [a−ε, a＋ε] を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点aの R の
ε-近傍の閉包 [a−ε, a＋ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、aは [a−ε, a＋ε] の孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)−f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1−x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)−f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数bとに対して、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
閉区間 [b−ε, b＋ε] を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R から誘導された通常の位相について、連結距離空間 R の点b の R の
ε-近傍の閉包 [b−ε, b＋ε] 上に R の有理点は稠密に存在し、bは [b−ε, b＋ε] の孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2−x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)−f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。

(>>288の続き)
[第４段]：故に c_1＝c_2 として点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、任意に、すべての正整数nについて条件 |c−x_{1,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_1 に対して x_{1, m_1}＝a であり、すべての n≠m_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるような
Iの点列 { x_{1,n} } が取れる。このとき更に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c−x_{2,n}|＜M を満たし、
かつ或る正整数 m_2 に対して x_{2, m_2}＝b であり、すべての n≠m_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるような
Iの点列 { x_{2,n} } が取れる。そして、各 i＝1,2 に対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、
{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、このとき任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A となる。
[第５段]：i＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c−a|＜M であって、|f(c)−f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c−b|＜M であって、|f(c)−f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a−b|≦|a−c|＋|c−b|＜M＋M＝2M、|f(a)−f(b)|≦|f(a)−f(c)|＋|f(c)−f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a−b|＜δ(d/2) であって |f(a)−f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)−f(b)|≧ε であったことに反し矛盾する。背理法が適用出来るから、
連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とすると、
開区間Iで定義されたすべてのIの有理点で不連続、すべてのIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことになる。

(>>289の続き)
[命題]　Iを開区間とする。任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明)　[第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
すると、上で示した命題の対偶を取って考えると、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とすることは出来ない。
つまり、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とはならない。
しかし、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、連結距離空間 R 上の閉区間は完全集合である。
従って、連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、任意の正の実数εに対し、任意のIの異なる2個の有理点 a,b に対して
それぞれ定まって得られるような、連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] は完全集合となる。
これは矛盾である。背理法が適用出来るから、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。

>>285
またチンプンカンプンなことを言う

>>285
> そして、無いとすれば、それやっぱりプロの数学者に見てもらった方が良いのでは？
> もし、初出なら勿体ないよ

1223487+12039874=13263361
という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、
君の頭ではなかなか理解できない。『テキストに載ってない』と『プロに見てもらえ』と駄々をこねる。

標準テキスト、標準テキストと、一年生用テキストさえ読まないバカが申しております

limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ

>>262
＞>率直に言って、君は数学に向いてないぞ
＞小利口にわけわからん理屈で、簡単に丸め込まれるより、きちんとロジックの筋を通す方が、数学的だと思うけどね
だからそれをお前はできてないって意味で数学に向いてないと言われてるんだよ
スレ主　国語　国語

＞こんな具合に、お馬鹿さんが理解できない理由まで推測してあげてるんだからな。大人と子どもの構図だよまるで。
スレ主は自分が何をどうわかってないかをまるでわかってないし、わかろうともしない
だから普通の人なら赤っ恥なところを、平然と上から目線していられる
バカも度を超すと手の施しようが無いという好例である

>>275
＞だから、標準テキストでは、そこはどうなっているのかと
自分の足で本屋か図書館行って読んでこいｗ　どんだけ厚かましいんだよｗ
他人に聞くべきことかの判断もつかん幼稚園児か？ｗ
そもそもεδ（一年生用テキスト）さえ勉強しないお前が、なんでそんなに標準テキストに拘るんだ？ｗ

ネーティヴな発想だ。

＞limsupも分からないアフォが偉そうなこと言ってやがったんだなあ
スレ主の場合それどころか sup、inf さえ理解してるか怪しい

>>243
証明の前に理解できるかの方が重要であると考えられるが。

理解を示せないと正しいかどうかの判断も出来ない。
なぜなら、例えばだが、単位円を分からないやつに単位円を使って1+1=2を証明せよという証明が出来ない事が分かるから。
十分条件ではなく必要条件を満たさないと数学の筆は止まる
君が教えてくれたことだよ？

>>286-290
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、熱心な証明ありがとう（＾＾

>>292
>1223487+12039874=13263361
>という計算は君の言う「標準テキスト」には載ってないかもしれないが、プロの数学者に見てもらう必要はない。
>それと同じように、ものすごく簡単なことをやっているのだが、

そうなのかね〜
あなたのお話だと、
なんで、普通の不連続の場合のように（参考 >>269 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 不連続性の分類 ）
”函数のリプシッツ連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。またリプシッツ不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。”
というような記述が、論文なり標準テキストにないのかな？
あなたの話が正しければ、そういう記述があると思うけどね

>>284
"「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。

「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。"

ここ大丈夫か？
「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？

ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？

>>301
BLACKX ◆jPpg5.obl6 ちゃん、どうも。スレ主です。

レスありがとう

>>303-305を読んでみてね（＾＾

1年みっちり勉強してからまた数学板に帰ってきたらどう？
スレ主だけレベルが低すぎるよ。

>>304
？？会話が成り立ちませんな

スレ主　国語　国語

>>305
＞ここ大丈夫か？
＞「 x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＜0”としてないか？
＞「 x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。」をいうために、暗黙に”ｙ＞0”としてないか？
＞
＞ｙの取り方は、必ずしも、そのよう（”ｙ＜0” or”ｙ＞0”）には限定されないのでは？

限定してよい。なぜなら、limsup[y→x] g(y) という量は

「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」

という性質を持つからだ(つまり、lim[y→x] と似た性質を持っている)。
そして、これは limsup の基本的な性質の１つである。標準的な数学書をめくれば、
この性質(もしくは、これと本質的に同じ記述)が必ず書いてある。
ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、

・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ

という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。

スレ主は人に標準教科書に書いてあるか聞く前に自分で標準教科書を勉強することだ
数学は人に聞いて「はいそうですか」という訳にはいかない、自分で勉強することが肝要だ

何か小学生に諭してる気分だ

>>305
ちなみに、「3」「4」の関数は単純な形をしているので、
俺が >>310 で指摘した「 limsup の基本的な性質 」を経由せずとも、直接的に

・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。

を導くことが可能である。以下で、「3」の関数の場合を書いておく。
なお、「3」の関数とは、f(x)＝ 0 (x＜0), 1 (x≧0) という関数である。

[ x＜0 の場合 ]
x＜0 なる x を任意に取る。このとき、

sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0　… (1)

が成り立つことを示す。0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる y を任意に取る。このとき、
y ＜ |x|/2＋x ＜ |x|＋x ＝ (−x)＋x ＝ 0 である。すなわち、y＜0 である。
よって、f(x)＝0 かつ f(y)＝0 となるので、｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
これが 0＜｜y−x｜＜|x|/2 なる限り言えるので、確かに (1) が成り立つ。この (1) により、

inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0

が成り立つことが分かる。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。

[x＞0 の場合]
x＞0 なる x を任意に取る。上と同じようにして、やはり sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜|x|/2 } ＝ 0
が成り立つことが分かる。特に、inf[δ＞0] sup{ ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜ ｜ 0＜|y−x|＜δ } ＝ 0
が成り立つ。すなわち、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 が成り立つ。

>>310
> ちなみに、この性質が成立するキモとなるのは、
>
> ・ 0＜δ_1≦δ_2 ならば sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_1} ≦ sup{ g(y)｜0＜|y−x|＜δ_2} が成り立つ
>
> という、δ＞0 に関する単調性である。さすがに、この程度のことを
> いちいちここで詳しく解説することはしないので、あとは自分で勉強せよ。

こんな基本のキまで溯ることになるとは。。。
スレ主は難しいことをさも分かってるかのように書いて、実はlimsupを分かってないとか洒落にもならないよ。

スレ主はコンパクトがどうのこうのと言ってたのに実はεδ論法すらわかってなかったという前科あり

スレ主は再起不能レベル

んなぁ

>>310

基本的な確認だが、下記に図があるよ
この図に、同意しますか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
図
リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。
(引用終り)

>>310
>「 y を x の十分小さな近傍に限定したものとして考えてもよい」

基本的な確認だが、
例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？
（そもそも、”x の十分小さな近傍”は、（x-ε，x+ε）だろ？ x+ε＞0と取れるよ。そうすると、y=0が取れて、f(y)=f(0)=1にできるよ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
近傍 (位相空間論)
(抜粋)
距離空間における近傍

距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体

B_{r}(p)=B(p;r)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。

V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して

B_{r}(p)={x ∈ X ｜ d(x,p)<r }
が V に含まれるときにいう。

各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 Sr とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が Sr であるといっても同じである。

従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。
(引用終り)

>>318
> 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？

（横レスだが言わせてくれ）

そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！
もういい加減にしろよ馬鹿者が

おっちゃんです。
リプシッツ連続は高度な概念だと思っていたけど、リプシッツ連続って、
大学一年の微分積分の本である　杉浦　解析入門　に書いてあるみたいだよ。
よく分からないけど、杉浦　解析入門　を読めばいいんじゃないかい。

>>319
>そもそもオマエの独自用語『1点におけるリプシッツ連続』と通常の『リプシッツ連続』は違うだろうに！！！！

当然だろ？
（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」
について（特に”< +∞”の場合）の説明文書は、ほとんどないよ
普通は
「｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< K }」（Kは有限）だよ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
(抜粋)
写像 f: X → Y がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 K ? 0 が存在して

d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))/d_{X}(x_{1},x_{2}) ＜＝ K (∀ x_{1},x_{2}∈ X)}
を満たすときに言う。
(引用終わり)

ところで
些末だが
「（横レスだが言わせてくれ）」は、括弧（）を外して
横レスだが言わせてくれ、 又は、 横レスだが言わせてくれ！
くらいにしてくれないかな？　括弧（）の意味（定理の当事者との関係性）をつい考えて引っかかるのでね

>>320
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう

>>322
今になって面白いサイトを見つけたんだけど、この問題は某大学の演習問題だったみたいだよ。

>>320
リプシッツという言葉を見たのは、多分制御理論だった（下記などご参照）
リプシッツは、なんどか見かけたが、あまり興味が無かったので、概略だけでスルーしていた（＾＾

今回のリプシッツで難しいかったのは、特に”< +∞”の場合を扱っているってところだ
ここは、ほとんど成書では、見かけないからね

（参考下記：このPDFの日付が分からないが、なかの歴史を見ると1997年か）
http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/sussmann-willems_j.pdf
最適制御の300年：最速降下から最大値原理まで
ヘクターJ. サスマンとヤンC. ウィレムス
(抜粋)
　最適制御は１６９７年に誕生した．３００年前のことである．オランダの北に位置する
グロニンゲンという大学街で１６９５年から１７０５年までその地の大学教授であった，ヨ
ハン・ベルヌーイが，最速降下問題の解法を公表した時であった．その１年前から彼は他の
同時代人たちにその問題を解くように挑戦状を叩き付けていたのである．私たちは，１６９
６年と１６９７年の出来事の物語のいくつか? その解法がヨハン・ベルヌーイやニュート
ン，ライプニッツ，チルンハウス，ロピタル，ヨハンの兄のヤコブ・ベルヌーイのような巨
人たちによって提出された時のこと? についてお伝えするつもりである．

経路が存在するということを妨げない．なぜなら，関数
√| y | はx 軸の近くではリプシッツ
ではないからである．（もしその関数がリプシッツであるのなら，常微分方程式の通常の一意
性定理によって，x 軸上にある１点を通るどの解も定数曲線でなくてはならない．）しかしな
がら，系を制御できるようにする同じリプシッツでない性質はまた，これらのすべてがリプ
シッツ参照ベクトル場を必要とするので，ロジャシヴィクツ表現を含む古典的かつ非平滑表
現において最大値原理を適用不能にするのである．
(引用終わり)

http://www.stannet.ne.jp/kazumoto/libraryj.html
Welcome to Dr. Kazumoto Iguchi's World
「井口和基博士と家族のホームページ」
井口和基 (C)2017

>>324 関連
（参考：これも、ちょっと古いが検索ヒットしたので貼る）
http://www.orsj.or.jp/~archive/pdf/bul/Vol.27_01_035.pdf
最適制御理論の動向(1) 坂本実 オベレーションズ・リサーチ 1982
http://www.orsj.or.jp/~archive/
社団法人　日本オペレーションズ・リサーチ学会 アーカイブ集

>>323
おっちゃん、どうも、スレ主です。

「この問題」とは？
正確にいうと？

>>326
有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。
このことを、某大学の演習で扱っていた。
これに関するサイトを見たときは、意外に思って、こんなことがあるのかって驚いたね。
サイトを挙げるのはよろしくないだろうから、やめておくけど。

>>326
つまり原理的には、スレ主の方法論に則って、
文献を挙げることで真偽を判定して解決出来てしまう状態になっている。
信じられないことが起こっている。

>>326
悪い、悪い。
よく見たら、今扱っている問題とは違った。
だけど、やり方がよく似ている。

>>324
私は、確かα-ヘルダー連続の α＝1 のときがリプシッツ連続にあたる
というような感じで出て来たね。一応、微分積分の副読本に書いてはあったけど。
リプシッツ連続やα-ヘルダー連続って、微分方程式とかでやるような概念だろ。

>>327
>有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。

そのまま
キーワード ：有理点で連続、無理点で不連続な実関数は存在しない。

で検索すると

約 1,560 件 （0.77 秒）
検索結果
関数の連続性 - 問題が解けません。助けてください。お願いしま... - Yahoo ...
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp ? 教養と学問、サイエンス ? 数学 ? 大学数学
2009/06/22 - 関数の連続性. 問題が解けません。助けてください。お願いします。 f(x)=0 (xが無理数αの時) f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時） とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。
ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。 つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。 稠密性のあたりの意味が全く分からず手に負えません。 できる方!!お願いします。
補足q_εの間にあるアンダーバーみたいなものの意味って何なんですか？
数学の問題です。次の関数が連 ... 回答（2） 2015年12月10日
有理数上で定義された関 ... 回答（1） 2015年4月15日
関数の連続性を調べよ１． １ ... 回答（2） 2012年3月14日
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp からの検索結果

連続性と微分可能性について - 新潟工科大学
takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/basic1/data/conti1.pdf
2008/08/26 - 連続性. 3. 0. 1 x y. 図 2: ディリクレ関数 fD(x) のグラフ. これはディリクレ関数と呼ばれるもので正確にグラフに表すことはできないが、
有理. 数、無理数はどんな実数 x の近くにも無数に存在し、よってどの x の近くでも関数は. 0, 1 の値を無限に繰り返し取るので、0 か 1 のどちらか一方の値に x の周りから近づ. くことはなく、
よってすべての x で不連続な関数である。 これを少し作りかえた次のような関数もある。 f1(x) =... 0 (x が無理数のとき). 1 p. (x が有理数でその既約表現が q p. のとき).

>>330
おっちゃん、どうも、スレ主です。
私は、制御理論以外ではあまり記憶に残っていないね

>>331 関連

これも検索ヒットしたのでご参考まで
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日〜8月7日開催)

詳しいことは
岡本久・長岡亮介 著
関数とは何か
（近代科学者 2014年刊）
で説明してあります．

www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
この関数は, 有理数と無理数. でばらばらに関数値を定義しているが, このようなものですら関数と認めていた
Bolzano には大きな先見. 性を認めざるを得ない (いたるところ不連続な関数を関数と認めたのは Dirichlet が最初であり, Bolzano. はそれより後のことではあるが.)
しかし, 彼のような偉大な思想家でも違いをおかすことはある. たと. えば, 彼は多変数の実関数について, 「各々の変数ごとに連続であれば多変数関数として連続である」と. いう定理を書いているが,
これはもちろん正しくはない. 不思議なことに同じ間違い ...

つづく

>>333 つづき
(以下抜粋)
このファイルは公開講座の原稿から文献を抜き取ったものです.

昨今の大学では, 最も重要な知識だけをできるだけ短時間に教育することが最優先されていること
が多く, 数学の発展過程において天才数学者たちがいかに右往左往したか, ということにふれている余裕
がなくなっている. 本稿の目的は, 数学と言えどもその発展には多くの挫折が伴っていることを例示す
ることにある. 同時に, 数学上の発見というものをどう評価するか, という問題が非常に難しいことを指
摘したいと思う. ある命題の証明が誰によってなされたのかを特定することはときとして非常に難しい.
証明が完成されたことを100 点であるとしても, その前に99 点くらいまでもってきた人物がいることが
しばしばある. こういったときに, 99 から100 まで持ってきた人物が栄誉を独り占めすることがいいこ
とだとは思えない. こうした業績評価に関するコンセンサスは現在ではまだできているとはいえないが,
いずれ確立する必要がしょうずるであろう.
数学史の書物は多い. 関数の歴史についても多くの良書がある. たとえば, [?, ?, ?] などを読むと関
数に対する数学者のイメージがどういうふうに変遷してきたのかがわかる. 本稿はすでに定評のある文
献に書いてあることのまとめのようなものであり, 数学史としてのオリジナリティーを主張するつもりは
ない. ただ, 数学史の教科書には関数のグラフがほとんどあげられていないので, 関数の直感的なイメー
ジがつかみにくい. そこで, この講義ではできるだけ多くのグラフを提供することによって聴く人の便宜
を図った.
以下に書いてあることはできるだけ疑いの目をもって読んで欲しい. 数学史の書物・論文には正し
くないことが平気でのっていたりすることがある. 私もついうっかりそうした間違いを犯しているかも
しれない. ２次資料・３次資料の間違いを安易に引き写すことはあってはならないことであるが, なかな
かなくならないものである.
(引用終わり)

以上

>>333
この岡本久先生のPDF、今読んでいるが、面白いよ（＾＾

>>333 関連抜粋

"Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.
と述べているが, 筆者もその通りであると思う."
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/okamoto.pdf
関数の歴史 - (RIMS), Kyoto University - 京都大学 岡本久
平成20年度(第30回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成20年8月4日〜8月7日開催)
(抜粋)
Kline[?, 177 ページ] は

In one respect it was fortunate that Weierstrass’s example 20 came late in the development of the calculus,
for, as Picard said in 1905,
“If Newton and Leibniz had known that continuous functions need not necessarily have a derivative, the differential culculus would never have been created.”
Rigorous thinking can be an obstacle to creativity.

と述べているが, 筆者もその通りであると思う.

Bochner 「関数」という観念は, 数学や科学に対して最高級の重要性をもつ数学的対象である. この
観念を記述するには「対応」という言葉を使うのと「関係」という言葉を使うのと二つの主な道
があって, 両方ともよく意味を明らかにしてはくれる. しかし本当をいうと, 関数の観念は定義可
能なものではなく, 定義のつもりでいるもの(would-be definition) も実際は同語反復であるにすぎ
ない. (ボホナー, 科学史における数学(村田全, 訳), みすず書房(1970), S. Bochner, The Role of
Mathematics in the Rise of Science, Princeton University Press (1966) の和訳.) の164 ページ.

Weyl だれも函数とは何であるかを説明することはできない, しかしこれは数学において真に重大な事
柄である. （ヘルマン・ワイル, 数学と自然科学の哲学, 岩波書店(1959) の9 ページ）
(引用終わり)