[第５段]：＝1,n＝m_1 とすると、x_{1,m_1}＝a から |c−a|＜M であって、|f(c)−f(a)|＜A＝d/2。
同様に、i＝2,n＝m_2 とすると、x_{2,m_2}＝b から |c−b|＜M であって、|f(c)−f(b)|＜A＝d/2。
従って、三角不等式から、|a−b|≦|a−c|＋|c−b|＜M＋M＝2M、|f(a)−f(b)|≦|f(a)−f(c)|＋|f(c)−f(b)|＜d/2＋d/2＝d。
d/2 に対して定まる正の実数 δ(d/2) を δ(d/2)＝2M とおけば、|a−b|＜δ(d/2) であって |f(a)−f(b)|＜d＜ε、
故に、εに対して定まる正の実数 δ(ε) を δ(ε)＝δ(d/2) とおけば、|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|＜ε。
しかし、これは |f(a)−f(b)|≧ε なることに反し矛盾する。
背理法が適用出来るから、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) は存在しない。