おっちゃんです。
横から割り込む形になり申し訳ないが、
そこまでε-δやε-近傍にこだわりたいなら、以下の証明でどうだい。

[命題]　Iを開区間とする。連結な距離空間 R から誘導される通常の位相について、
高々1個の正の実数εに対し、高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれ定まって得られるような、
連結距離空間 R 上の閉区間 [a−ε, a＋ε]、[b−ε, b＋ε] を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
証明)　[第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して正の実数 δ(ε) が定まって、
|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c−a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c−b|＜δ(ε) } とおく。
すると、区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、 max(|c−a|, |c−b|)＜δ(ε) なるIの無理数cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。