>>28
>そもそも、区間Iで定義された有理数で不連続、無理数で連続な実関数 f(x) が存在しない。

おっちゃん、「トマエ関数」って知っているかい？

（下記より）”定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．”

http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24
(抜粋)

トマエ関数の性質

トマエ関数にとても惹かれる理由は何といっても次の性質です。

定理
トマエ関数は次の性質を持つ:
有理数で不連続
無理数で連続．

有理数で不連続なのはポツンと浮いているので明らかだと思います。しかし、無理数で連続なのは意外だったのではと思います。私が大学1年生のとき、微分積分の教科書の演習問題の中でこの関数にはじめて出会いました。話を聞いてみると無理数で連続であることを知って今までの連続のイメージとは違う所に心を奪われました。
(引用終り)