現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48

“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

>>356　訂正

（>なお、(>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ）
　↓
（なお、(>>353) おっさんも、それほど若くないと見えるけどね（＾＾ ）

＞「リプシッツ」という不必要な言葉を振り回した挙句に、その言葉が持つ表面的な響きに
＞引きずられて、独りで勝手に意味不明な勘違いに陥っているのである。
それスレ主のいつものパターンｗ　すなわち今回も進歩無しｗ
スレ主はここ4年くらい進歩が無いから当時の中学生に抜かれてると思うｗ
当時の中３は今ではεδ論法を理解してるだろうからｗ

>>351
＞じゃ、どっか行けよ
手取り足取り教えてもらっておいて逆ギレかよｗ
やはりスレ主は小学校の道徳からやり直す必要がある　ガチで

正直に白状しろよスレ主
「”リプシッツ連続”という言葉の響きに憧れて使ってみたかっただけです」
と

>>354
＞どこに、「書いている？」と聞けば、書名は出せないと

limsup は拡大実数の中で定義される。拡大実数を持ち出した時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は
拡大実数の中における普通の不等式であり、well-defined に意味が定まっている。それが理解できないなら、
スレ主が「バカ」だというだけの話。しかし、かわいそうなので、何冊か提示してやろう。

ttps://books.google.co.jp/books?id=DLfxd7StGw8C&pg=PA8&dq=limsup&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwioyeKPrZjYAhWBfrwKHZfQAaIQ6AEIQzAD#v=onepage&q=extended%20real&f=false
(ページ6, 7, 8)

ttps://books.google.co.jp/books?id=WJrfBwAAQBAJ&pg=PA98&dq=%22extended+real%22&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiI4emqvJjYAhUEJpQKHYoMA2oQ6AEIbzAJ#v=onepage&q=%22limit%20superior%22&f=false
(定義はページ97から, 基本的な性質はページ110から)

limsup を完璧に拡大実数の中で定義している。この時点で、「 ＜＋∞ 」という記号列は
拡大実数の中における普通の不等式となり、well-defined に意味が定まっている。
そもそも普通に「 ＜＋∞ 」という記号が本の中で使われている。

[続く]

[続き]

他には

ttps://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
&source=bl&ots=fQgmSNxSiV&sig=GbK_ENnoXVFjLvnxGtH_1N3xygI&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiO4P2Pt5jYAhUK5
LwKHZQuApUQ6AEIPzAC#v=onepage&q=limsup%20&f=false
(ページ215, 216, 217)

これも挙げておく(※リンクが長すぎて投稿不可と出たので、リンクは改行してある。コピペするときは手作業で改行をなくすこと)。
書き方が抽象的だが、やっていることは同じ。こちらも、「 ＜＋∞ 」という記号が途中で使わている。
拡大実数の中における普通の不等式なのだから、使われるのは当たり前である。
ちなみに、スレ主が大好きな wikipedia でも、拡大実数の中で limsup を定義している。

ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior

何度も言うが、いったん拡大実数の中で limsup を定義したならば、「 ＜＋∞ 」という記号は
拡大実数の中における普通の不等式なので、well-defined に意味が定まる。

これで満足か？俺の独自定義ではなくて残念だったな。
(そもそも、独自定義か否かで何かを批判しようとしている時点でズレているのだが。)

腹減った〜😞
カレー🍛とラーメン🍜一丁ずつ、ちょーだい！！

>>321
今はリプシッツ連続を考えていないのに、


>>318
> 例えば、x＜0側から、x→0に近づくとき、無意識に”x の十分小さな近傍で、「y=0」を含まないように、εを取る”ようにしていないか？
> リプシッツ連続を考えるときは、それは上記（>>317）の記述に照らし合わせると、まずくないかい？

などと急にリプシッツ条件に照らし合わせ始めたから、それ関係ないじゃん！！って言ってんだけど。

阿呆は消えろっての

>>362、>>360、>>357スレ主
生理中の生娘でもあるまいし、カリカリし過ぎ！！
ステーキ🥩、寿司🍣、スパゲティ🍝、ハンバーガー🍔などなどモリモリ食べて、まずは落ち着こうや。





生理中の生娘が何故、カリカリしてるのか？
この疑問の答えはココに無いので、ネット検索か、妙齢の女性に聞いてみて。

limsupからB_fからリプシッツ連続の定義から何から何まで ことごとく理解できないアホは数学板から消えてほしい
言うことに困るといつもwell-definedでない！と文句をつけてくるアホは数学板から消えてほしい
とにかくスレ主には数学板から消えてほしい
なんか数学を冒涜されてる気がするんだよ
オマエみたいな奴に分かった風に数学を語られると

申し訳ないがスレ主は↓に移動してくれないか？

https://mao.5ch.net/occult/
https://mevius.5ch.net/poem/

数学板から立ち去ってくれ

Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }

この程度の定義にスレ主は右往左往ｗｗ
みっともないなｗ

低レベルすぎるだけならまだしも、周りに害をふりまきすぎ。
デタラメをネットに垂れ流しすぎ。
数学板から出て行ってくれよ。
オカルト板や詩・ポエム板なら何やってもいいから、そっちでやってくれよ


349 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/20(水) 17:07:00.60 ID:ptKBLDJz
>>345

ご苦労さん（＾＾

>いい加減に「リプシッツ」という言葉を使うのをやめたまえ。我々が今やろうとしていることは、
>limsup[y→x] ｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜
>という量を計算することである。この量を計算するのに「リプシッツ」という言葉は必要ない。
>limsup の定義に従って、機械的に計算すればいいだけの話である。

ふーん、自分独自の（>>303より）
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」を
定義しましたか？

￥さんのいうフランス人気質なら、「独創！ すばらしい〜！」だろうが
日本的には、「大丈夫？」と、心配されるだろうね・・・

そもそも、その定義が、現実にあるいろいろな関数（病的な関数も含め）のどういう性質を捉え
また、その定理の適用範囲の限界（どの関数に使え、どの関数に使えないかなど）を見極めることなしには、その定理の証明を読んでも仕方ないだろう？

既存の理論、リプシッツ連続や、連続関数の理論とは、無関係だというならば・・・
（”well difined”かどうか、そこにも関わってくるよ） 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

>>361-362

ご苦労さん

見た。必死で検索したわけね（＾＾

おれまた、手元の書籍の書名を出すと思ってたんだが・・・（＾＾

そこには無かったと

で、リンクは全部見ました（＾＾

（>>303より）「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」は、あなたの手作り定義なわけだ（＾＾

よく分りました（＾＾

まあ、細かい点は、追々やりましょう

あなたは、面白いわ（＾＾

ピエロや、High level peopleより、遙かにレベル高いね（特に応答のレベルが）

時枝は終わったし、このリプシッツの方が時枝より面白いね

だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾

>>369 追加

そうそう

・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？
・そこ（３冊の書物）には、”R−Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと

見た範囲では無かったので、念押し確認です（＾＾
もし、定理が正しければ、よろしいんじゃないですかね（＾＾

>>369
＞だけど、あんた、数学の相談できる友達おらんのやね〜（＾＾

ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。

俺の目的は、例の定理をこのスレで「相談する」ことではない。
例の定理にスレ主がイチャモンをつけているから、
そのスレ主に対して反論を繰り返しているだけである。

で？w

>>370
＞・そこ（３冊の書物）には、あなたの新発明の定理は、無かったということね？

この３冊には無かったが、そもそもこの定理は新発明ではないと何度も言っている。
絶対にどこかで既に発見済みである。我々が文献を見つけてないだけ。


＞・そこ（３冊の書物）には、”R−Bf が内点を持たない閉集合ので被覆できる”の記述も無かったと

この３冊には無かったが、「3」「4」の関数 f については「被覆できる」ことを
このスレで何度も繰り返し書いている。

また、一般の写像 f：R → R に対しては、必ずしも被覆可能とは限らないことも何度も書いている。
例の定理は「被覆できるなら○○が成り立つ」という形の定理であり、被覆できない f を持ってきた場合は
そもそも例の定理の適用範囲外である。

＞ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。

スレ主　国語　国語

>>372
オハヨー、朝です。
(^o^)

>で？w

この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾

「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ

例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾

>>375
違うよ

>>378
＞５．問題は、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”で、
＞”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”がどこまで言えるのか？ （とりあえず、個数（可算、非可算）を別として）

バカじゃねーの。個数を可算に限定しないなら、任意の集合 A ⊂ R が被覆可能だろ。
たとえば、A が空集合でないときは、

A ⊂ ∪[a∈A] {a}

という自明な包含が成り立ち、右辺の各 {a} は内点を持たない閉集合であるから、
「集合 A は内点を持たない閉集合の和で被覆できる」ことになる。

＞８．もし、全く、”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できる”が、言えないとすれば、この定理の価値は極めて低いだろう

その心配は無用である。なぜなら、スレ主が挙げた「3」「4」の関数では「被覆できる」からだ。
また、今現在のスレ主にも完全に理解可能な、オモチャのような例も存在する。

f(x)＝0 (x∈R)

という定数関数を考えてみよ。さすがのスレ主も、B_f のことを正しく理解していようが勘違いしていようが
B_f ＝ R　という等式が成り立つことには賛成するだろう。よって、R−B_f ＝ φ となる。
よって、内点を含まない閉集合 K を何でもいいから１つ取れば、φ ⊂ K という自明な包含により
R−B_f ⊂ K となるので、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できているｗ
無論、この例はあまりにもオモチャであって下らない例なのだが、
「被覆できる例が１つも存在しない可能性」を考えているアホにはちょうどいい例であろう。

このアホなやり取りはなんなんだ……
一方は無理解にもほどがあるな……

>>378は考えて喋ってないと思う

ミーハーな数学好きが、相手の書き込みのあげ足取ったり、都合良い情報だけを切り貼りして遊んでるだけだしな。

気楽にね。結論は期待しちゃダメ🙅♂🙅♀

＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾

スレ主は煽りも下手だね

ここのスレ主は数学板史上最大の鼻つまみ者だな
こんな奴見たことねー

スレ主はバカ自慢したいとしか思えない

スレ主に比べれば　哀れな素人氏　はずいぶんマシだったという驚愕の事実

>>376
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }

これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね
おれも、勉強不足だね。知らなかったな・・（＾＾

で、おっさん重箱の隅だが、拡張実数をいうなら
下記の本のように、”Let B ⊂ R, f : B →R￣”(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)としとくべきだぜ

https://www.amazon.co.jp/Fundamentals-Analysis-Universitext-Sterling-Berberian/dp/0387984801
Fundamentals of Real Analysis (Universitext) (英語) ペーパーバック ? 2008/6/13 Sterling K. Berberian (著) 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian

(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）（検索すると、無料PDFのサイトがあったが、怪しそうだったので、アクセスせず（＾＾； ）
(P220)
5.3.6. Theorem. Let B ⊂ R, f : B →R￣, c ∈ R, and suppose that
B⊃(c - r,c)∪(c,c +r) for some r >O. In order that
(注：R￣は、拡張実数でRの上付きバーの簡易表現)
lim x→c, x≠c f(x)

exist (in the sense of 3.5.5), it is necessary and sufficient that the four numbers,

lim sup x→c+ f(x), lim inf x→c+ f(x),

lim sup x→c- f(x), lim inf x→c- f(x),

be equal, in which case all five number are equal.

5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula

f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).

つづく

>>390 つづき

Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.

If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define

(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

(D +g)(c) = lim inf x→c+ f(x) = lim inf x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

Similarly, if c ∈ (a, b] we define

(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

(D -g)(c) = lim inf x→c- f(x) = lim inf x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.
（(引用終り)）

つづく

>>391 つづき

”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分 - Wikipedia
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)

https://en.wikipedia.org/wiki/Dini_derivative
(抜粋)
If f is locally Lipschitz, then f′+ is finite. If f is differentiable at t, then the Dini derivative at t is the usual derivative at t.
・On the extended reals, each of the Dini derivatives always exist; however, they may take on the values +∞ or ?∞ at times (i.e., the Dini derivatives always exist in the extended sense).
(引用終り)

https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949
Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要　第39巻（2003）
(抜粋)
§2．Dini の微分係数
実関数論の教科書は国内外古新を問わずすこぶる数多に及ぶ．その中でも易しく書かれているにもかかわらず多くの話題
について相当深く扱っている次の本に注目したい，即ち， 辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．この本の第2 章中の第
7 節にDini の微分係数の題で55 頁から58 頁に亘って
一種の平均値の定理とその単調性定理への応用が述べられている．
入手し難い本でもあり， 又とにかく分り易い解説からなっているから，
ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおき
かへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．
(引用終り)

以上

>>362

ご苦労さん
あとの都合上、下記を引用しておく（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)（アスキー表現の文字化けがあるので、元リンクご参照）
Functions from metric spaces to metric spaces

There is a notion of lim sup and lim inf for functions defined on a metric space whose relationship to limits of real-valued functions mirrors that of the relation between the lim sup, lim inf, and the limit of a real sequence.
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,

lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
and
lim inf _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})

where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.

つづく

>>393 つづき

Note that as ε shrinks, the supremum of the function over the ball is monotone decreasing, so we have

lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f _{ε >0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})
and similarly
lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup _{ε >0}( ∈f {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}}).

This finally motivates the definitions for general topological spaces. Take X, Y, E and a as before, but now let X and Y both be topological spaces. In this case, we replace metric balls with neighborhoods:

lim sup _{x→ a}f(x)＝ ∈f { sup {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ }

lim inf _{x→ a}f(x)＝ sup { ∈f {f(x):x ∈ E∩ U＼{a}}:U open ,a ∈ U,E∩ U＼{a}≠ Φ }

(there is a way to write the formula using "lim" using nets and the neighborhood filter).
This version is often useful in discussions of semi-continuity which crop up in analysis quite often.
An interesting note is that this version subsumes the sequential version by considering sequences as functions from the natural numbers as a topological subspace of the extended real line, into the space (the closure of N in [?∞,∞], the extended real number line, is N ∪ {∞}.)
(引用終り)

以上

>>390
B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。

>>392
＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾

はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。
f：R→R が局所リプシッツ連続であるとは、次の 条件Ａ が成り立つときを言う。

条件Ａ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
任意の x∈R に対して、x を含むある開区間 (a,b) とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――

つまり、x∈R を取るごとに、x を含む十分小さな開区間の上で「 f は普通の意味でリプシッツ連続」に
なっているとき、f は局所リプシッツ連続と言うのでる。この場合、x∈R ごとに決まる (a,b) と L について、
f の (a,b) 上でのディニ微分(の絶対値)は常に「 ≦ L 」を満たすことが容易に分かる。

一方で、例の定理では、上記の「条件Ａ」を仮定として考えているわけではないし、
むしろ定理の結論において、"ある x に対して条件Ａの中身の性質が成り立つ" という類の主張を
導いているわけであるから、スレ主が引用している主張は、例の定理とは ぜんぜん違うものである。

>>392
> ”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾

だから何やねん！！（＾＾

ってみんな心の中で叫んだはず。
スレ主は何を発見したつもりになっているのか・・・

>>395
おっさん、正気か？

>B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。
>｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜という絶対値の有無や、limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ。

おれは、また、「ディニ微分を独力で再発明・再発見したか。”力あるね〜”」と思ったのだが・・

というのは、ディニ微分については、あまり和書がなく、(>>392)中井先生らが1949年の辻正次先生の本から
「ここに逐語的ではなく，現代的な語法や記号でおきかへ内容をはるかにふくらませ，何も削らないでここに再掲する．」
いう状態だった（なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが）

（まあ、数学の力は認めるよ。だが、周りに相談する人がいないんだろうね〜・・・）

”limsup を取るときの y↑x, y↓x, y→x の違いがあるからだ”は、それは無理筋だろ？
>>393引用のLimit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces
下記定義に従わないといけないからね

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior
Limit superior and limit inferior
(抜粋)
Take metric spaces X and Y, a subspace E contained in X, and a function f : E → Y. The space Y should also be an ordered set, so that the notions of supremum and infimum make sense. Define, for any limit point a of E,

lim sup _{x→ a}f(x)＝lim _{ε → 0}( sup {f(x):x ∈ E∩ B(a;ε )＼{a}})

where B(a;ε) denotes the metric ball of radius ε about a.
(引用終わり)

>はい、例の定理とは ぜんぜん別物です。

上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね

>>396
>だから何やねん！！（＾＾
>ってみんな心の中で叫んだはず。

おまえとおっさんの二人みたいだな（＾＾

>>392 関連

https://wikimatome.org/wiki/%E8%BE%BB%E6%AD%A3%E6%AC%A1
辻正次 ウィキまとめ このページの最終更新日時 2015年10月30日 (金) 22:51

つじまさつぐ
明治27(1894)年7月21日〜昭和35(1960)年3月6日 大正・昭和期の数学者。東京大学教授、立教大学教授。
著書に「近代関数論におけるポテンシャル論」「実変数函数論」など。

スレ主のバカ自慢はまだまだ続いたとさ

どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外

ID:zkh22JUH
ぷ のようにスレ主の自演と疑われたくないなら、数学的見解も述べた方がいいよ

>>397
＞上記 Limit superior and limit inferiorのFunctions from metric spaces to metric spaces の定義をよく読ん下さいね

スレ主自身が「定義をよく読んで下さいね」と言っているように、そこに書いてあるのは単なる「定義」の話である。
より具体的に言うと、そこに書いてあるのは、limsup を一般の距離空間の上で定義している話である。
例の pdf で対応する箇所を探してみると、１ページ目の一番最初の

「 定義1.1 」

の limsup[y→x] g(y) の話に対応しているだけである。今まで limsup の定義にケチをつけていたスレ主にとっては、
もはや定義そのものにはケチをつけられなくなったという話に過ぎない。つまり、スレ主は自分の首を絞めているだけである。

そもそも、スレ主が挙げているそのリンク先は、俺が最初に >>362 で挙げたリンクである。
>>362 はどういう状況だったかというと、「 limsup の定義にケチをつけていたスレ主に対して、いくつか文献を提示していた」
という状況である。そのようなリンクを、後になってスレ主の方から持ち出しても、

「わたくしスレ主は limsup の定義にケチをつけていましたが、もはや定義そのものにはケチをつけられません」

と言っているのと同じことである。

　
[記法の整備　その１]

さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して

Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜

とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は

B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }

と表現できることに注意する。もちろん、

R−B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }

という等式が成り立つ。ディニ微分っぽい捉え方をするようになったスレ主は、
もはや このような等式を勘違いせずに理解できるようになったのではないだろうか。
そもそも何を勘違いしてバカな発言を繰り返していたのかすら不明だが。

おっちゃんです。
スレ主へ：
ジハード！！！！！　ジハード！！！！！　ジハード！！！！！

　
[記法の整備　その２]

さらに、写像 f：R→R と点 x∈R に関する命題 Lips(x,f) を以下のように定義する。

Lips(x,f)「 写像 f は、x を含む十分小さな開区間の上で、普通の意味でリプシッツ連続である。」

より厳密に書けば、Lips(x,f) を次のように定義する。
―――――――――――――――――――――――――――――――
Lips(x,f)：
x を含むある開区間(a,b)とある L＞0 が存在して、
∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)−f(y)｜≦ L｜z−y｜] が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――

この記法のもとで、「 f：R→R が局所リプシッツ連続である」ことと

「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真である」

が成り立つことは同値であることに注意する。

さて、上記の記法のもとで、スレ主が引用している主張と、例の定理とを比べてみる。

スレ主が引用している主張
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

例の定理
――――――――――――――――――――――――――――――――――
写像 f：R → R に対して B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ } と置く。
もし R−B_f が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
ある x∈R に対して Lips(x,f) は真である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

このとおり、主張している内容が全く違う。

・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Af(x) は有限値」という結論を導いているが、
　例の定理では、Af(x)＝＋∞ が成り立つ点が存在していても適用可能な別の定理になっているので、
　この時点で既に状況が違っている。

・ スレ主の主張では、「任意の x∈R に対して Lips(x,f) は真」という "仮定を置いている" が、
　例の定理では、そのような仮定が無い状態で、「ある x∈R に対して Lips(x,f) は真」という性質を
　"結論において導いている" ので、これも状況が全く違っている。

……というわけで、スレ主が引用した主張は、例の定理とは全く異なるのだったｗ

スレ主語を翻訳して頂き有難うございます

>>402
オマエモナー

>>392 関連

ディニ微分が、いつごろ論文か判然としないが、
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918)
と、Books by U. Dini 1907?1915 などとあるので
100年以上前は確実だろう

https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini
Ulisse Dini
(抜粋)
Ulisse Dini (14 November 1845 ? 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa. He is known for his contribution to real analysis, partly collected in his book "Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali".[1]

Life and academic career
Dini attended the Scuola Normale Superiore in order to become a teacher. One of his professors was Enrico Betti. In 1865, a scholarship enabled him to visit Paris, where he studied under Charles Hermite as well as Joseph Bertrand, and published several papers.
In 1866, he was appointed to the University of Pisa, where he taught algebra and geodesy. In 1871, he succeeded Betti as professor for analysis and geometry. From 1888 until 1890, Dini was rettore[2] of the Pisa University, and of the Scuola Normale Superiore from 1908 until his death in 1918.

He was also active as a politician: in 1871 he was voted into the Pisa city council, and in 1880, he became a member of the Italian parliament.

Honors
He has been elected honorary member of the London Mathematical Society.[3]

Work
Research activity

Thus, by the year 1877, or seven years from the time he began, he published the treatise, since famous, entitled Foundations for the Theory of Functions of Real Variables (Fondamenti per la teoria delle funzioni di variabili reali).

つづく

>>410 つづき

Much of what Dini here sets forth concerning such topics as continuous and discontinuous functions, the derivative and the conditions for its existence, series, definite integrals, the properties of the incremental ratio, etc., was entirely original with himself and has since come to be regarded everywhere as basal in the real variable theory.

??Walter Burton Ford, (Ford 1920, p. 174).

Books by U. Dini
Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale (Pisa, T. Nistri, 1880)
Lezioni di analisi infinitesimale. vol. 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 1 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Lezioni di analisi infinitesimale.vol. 2 part 2 (Pisa, T. Nistri, 1907?1915)
Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali (Pisa, T. Nistri, 1878)
(引用終り)

>>401
>どっちもどっち
>ID:KNjgsEZnはただの基地外

レスありがとう！！

全く同意だ

私スレ主は”あほばか”で、ID:KNjgsEZnは基地外だな（＾＾

だが、時枝より、はるかに面白いよ（＾＾

>>409
一体誰の自演と疑うんだ？

>>405
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう

ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ

(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

とあるけれど、
条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
ということ

それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾

＞全く同意だ
そりゃそうでしょ
自演なんだからｗ

>>397 関連
> なお、検索で東大の講義の内容で概要だけディニ微分がヒットしたが

あれ？　
東京理科大だったかも・・（東大がどうか不明）（＾＾
ディニの導来数？ これディニ微分のことだろう・・（＾＾
https://letus.ed.tus.ac.jp/2012/course/info.php?id=604
Home / ? コース / ? 東京理科大学 / ? 理学部第一部 / ? 積分論２ (991135S) / ? シラバス
積分論２ (991135S)
(抜粋)
教員名 加藤　圭一
開講年度学期 2012年度 後期
開講学科 理学部第一部　数学科
単位 2.0 学年 ３年

第１回　直線の関数の微分と積分の関係１
ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．
(引用終り)

>>413
おれだよ
オレオレ
おまえは、オレだよ
おまえは、オレの自演だよ（＾＾

>>415
つー、>>417・・・（＾＾

>>403-404 >>406-407

おっさん、ほんま”ただの基地外”やね

・（おっさん）標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。（>>350）
　↓
・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）
　↓
・（おっさん）well-defined に意味が定まっている。かわいそうなので、何冊か提示してやろう。（>>361-362）
　↓
・（私スレ主）これ、おっさん>>362引用の下記書籍にある、”the Dini derivates”（ディニ微分）やね（>>390）
　↓
・（おっさん）B_f で扱っている量は R 上のディニ微分の類似品ではあるが、R 上のディニ微分そのものではない。（>>395）

(引用終り)

おっさん、面白いわ
面白すぎるけどな〜（＾＾

>>419
「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。

ディニ微分については最初から知っていたが(たとえば、俺の手元のルベーグ積分論の本にはディニ微分が載っている)、
スレ主が「リプシッツ」という余計な言葉を使って議論を引っ掻き回していたので、俺の口からは何も言わなかった。

B_f で扱っている量がディニ微分そのものではない、という点についても特にツッコミどころは無い。
ただし、4つのディニ微分を全て統括して limsup で抑えた形には なっている。

で、そんなことより、>>404-407 への返答が全く無いのだが？

>>401
>どっちもどっち
>ID:KNjgsEZnはただの基地外

このID:zkh22JUH さんについては・・・

”>>372 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/21(木) 00:01:12.69 ID:BdIiQ35o
で？w

>>375 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/21(木) 10:19:17.94 ID:xTe57EH6 [1/4]
>>372
オハヨー、朝です。
(^o^)

>で？w

この極短レスは、「ぷふ」さんかな（＾＾”

というやり取りの人だな多分
それで、おれより、大分レベルが高そうだな（＾＾

>>420
おっさん、書名書名（＾＾

それと、年末は忙しい

あわてるな

ゆっくり遊んでやるから。友達のいない人よ

>>420
>「標準的なテキストに載っている」とは limsup の定義のことを指して言っている。

>>419の”・（私スレ主）そのテキストの書名を書けよ（>>351）”を、もう少し長く引用すると

（>>351より）
「>標準的なテキストに載っている標準的な定義であり、俺独自の定義ではない。

そのテキストの書名を書けよ
「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」

だったよね

おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾

>>422
こういう、どうでもいいところばかりは
鬼の首を取ったかのように(しかしトンチンカンな)レスを重ね、
本題となっている議論は間違えに間違えを重ねて
未だに何も理解してないというスレ主の惨状。

＞おっさん、書名書名（＾＾

「実解析と測度論の基礎　盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。
ここはルベーグ積分に対する「微積分学の基本定理」の節になっており、
そこで自然にディニ微分が扱われるので、俺は既に知っていた。
というか、ルベーグ積分をキチンと勉強した人なら、大抵は知っていると思われる。

>>423
＞そのテキストの書名を書けよ
＞「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }」の”< +∞”も含めて載っているんだろうな？」
＞だったよね
＞おっさんのウソは、ヘタだな。すぐばれる〜（＾＾

お前は何を言ってるんだ？「 ＜＋∞ 」を含めて載ってる例は
その >>361-362 で既に出してるだろ？ちゃんと目を通したのか？

際立つスレ主のアホっぷり

スレ主の人はちょっと権威主義が過ぎるきらいがあるね
それって数学の対極なような気もするけど

>>414
> とあるけれど、
> 条件”R−Bf が内点を持たない閉集合で被覆できるならば”の吟味抜きで、定理の証明を読んでも、しかたなかんべ
> ということ

もうそれ反論されてるじゃん。被覆できるものもあれば被覆できないものもある。
この定理は『すべてのfで被覆できる』といってるわけではない。
『被覆できるならば〜が成り立つ』という定理でしょ？
で、実際に被覆できる例まで示されてる。
スレ主は言ってることがすごく頓珍漢だよ。

>>414
> それと、ディニ微分というキーワードを見つけたので、従来のディニ微分理論との比較や整合性検討も面白そうだし・・（＾＾

面白がるのは、イチャモンを引っ込めてからにしとけよ
最低限の節度もないなら消えてくれよ、頼むから。

>>424
後出し後出し
おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾

>「実解析と測度論の基礎　盛田建彦」の128ページ目にディニ微分の定義がある。

「じゃ、そう書いておけ」ってことよ
おれの>>416 東京理科大学 加藤　圭一先生 積分論２”第１回　直線の関数の微分と積分の関係１ ディニの導来数およびヴィタリの被覆定理とその証明を理解する．”
との関係を疑われるジャストのタイミングで書くとは・・

つづく

>>430 つづき

ディニ微分については、おっさんの紹介した”Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian”(P220)にもあって下記
（>>390-391）
(抜粋)
”5.3.7. Definition. Let g: [a ,b] → R, a < b, and let c ∈ [a ,b] . Write
B = [a, b] - {c} and define f: B →R￣ by the formula

f(x) = g(x) - g(c)/(x - c).

Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.

If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define

(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

Of course the values of f are in R, but we are being consistent with the
foregoing notations; some of the numbers we are about to associate with
f may be infinite.

If c ∈ [a, b) then c is approachable from the right by x ∈ B and we define

(D^+g)(c) = lim sup x→c+ f(x) = lim sup x→c+ {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

Similarly, if c ∈ (a, b] we define

(D^-g)(c) = lim sup x→c- f(x) = lim sup x→c- {g(x) - g(c)/(x - c)} ,

These four numbers are called the Dini derivates of g at c; more precisely
(for example), (D +g)(c) is the lower right-hand derivate of g at c.”
(引用終り)

ここにある、自分の定理と類似の記述があると、それ書けば、”ウソ”って言われなくてすんだろうに（＾＾

つづく

突然ですが、思い出したので貼る（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC
リチャード・セイラー
(抜粋)
リチャード・H・セイラー（Richard H. Thaler, 1945年9月12日 - ）は、アメリカ合衆国の経済学者。シカゴ大学教授。専門は、行動経済学。

行動科学の理論家として国際的な研究業績を持ち、ダニエル・カーネマンらと協働し研究を牽引してきた。

相田みつをのファン[1]。

2017年ノーベル経済学賞受賞。
(引用終り)

https://www.nhk.or.jp/gendai/articles/4066/
家でも会社でも使えるノーベル賞理論！ 最新経済学の魔法 クローズアップ現代＋ NHK 2017年11月20日(月)
(抜粋)
「つまづいたっていいじゃないか、にんげんだもの」。今年、ノーベル経済学賞を受賞したリチャード・セイラー教授（行動経済学）は相田みつをファン。衝動買い、飲み過ぎ、ギャンブル…分かっちゃいるけどやめられない、だって「にんげんだもの」。
でも、こうした人間心理を逆手にとれば、より良い選択をするように誘導できる。セイラー教授が“ナッジ”と名付けたこうした仕掛けを紹介。 うまく応用すれば家でも会社でも、人生はうまく行く！？

出演者
リチャード・セイラーさん （シカゴ大学教授）
大竹 文雄さん （大阪大学教授）
武田真一・田中泉 （キャスター）

日本の「相田みつを」？

経済学者　リチャード・セイラー教授
「『つまづいたっていいじゃないか　にんげんだもの』。私はこの言葉が大好きなんだよ！」

ノーベル賞理論の原点
田中
「相田みつをのファンだそうですね。」

リチャード・セイラー教授
「２００９年に東京に行ったときに、たまたま相田みつを美術館に行ったんだよ。それですっかり魅了されてしまったのさ。
私は研究室のドアに、相田みつをの詩を貼り付けているんだよ。『そのうち　そのうち　べんかいしながら日がくれる』。いつまでもなまけている場合じゃないっていう、自分への戒めのためにね。」

田中
「著書の中でも、ご自身をなまけ者だとおっしゃっていますね。」

つづく

>>434 つづき

リチャード・セイラー教授
「そうなんだよ、若い頃はついついなまけてしまう自分を律するために、ずいぶん苦労したもんだよ。」

セイラーさんは、相田みつをのファンというだけでなく、その言葉が研究テーマそのものになっているといいます。

リチャード・セイラー教授
「相田みつをの『にんげんだもの』という言葉。それはまさに、私が４０年かけて研究してきたことでもあるんだ。学生の頃、経済学の論文をたくさん読んだけれど、そこに書かれている人間は現実に存在している人間とはかけ離れている気がしたんだ。それで私は、それまで経済学者が無視してきた人間のおかしな行動を調べることにしたんだ。」
(引用終り)

以上

＞５．それ無くしては、数学の勉強にもならない。
と、一年生の授業に着いていけないアホが申しております

おっさん、がんばれよ（＾＾

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理

x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．


系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演

36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集

つづく

>>438 貼り直し（＾＾

>>432

キーワード： 微分 dini OR ディニ
で検索すると、いろいろヒットするね（＾＾

下記、斎藤新悟先生のテキストの
”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
などは、おっさんの定理に近いかもな（＾＾

これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
おっさん、がんばれよ（＾＾

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理

x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点にお
ける Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] ?→ R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成
立する：
(1) D+f(x) = D+f(x) = D?f(x) = D?f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D+f(x) = D?f(x) ∈ R, D?f(x) = ∞, D+f(x) = ?∞．
(3) D?f(x) = D+f(x) ∈ R, D+f(x) = ∞, D?f(x) = ?∞．
(4) D±f(x) = ∞, D±f(x) = ?∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy,
Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が
任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述
べる．


系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも
成立しないことから系が従う．

つづく

>>439 つづき

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
(引用終り)

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/
斎藤新悟のウェブサイトへようこそ！
九州大学基幹教育院准教授。
1981年大阪府生まれ。
東京大学理学部数学科卒業。
University College London, Department of Mathematics博士課程修了。
PhD in Mathematics, University of London.
九州大学学術研究員を経て，2013年4月から現職。

}

>>439
追加

（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）

http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotorubekiho.html
微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ディニ導関数 ）

ｆ：Ｉ→Ｒ を関数とする。

次のように定義する。

略

これらを総称して 『 ディニ導関数 』 という。

参考

ディニ導関数は可測であることが知られている。

Ｐ１５
ｆ：［ａ、ｂ］→Ｒ を絶対連続関数とする。
ｆ’＝０ （ａ．ｅ．） であるとする。
このとき、ｆ は定値関数である。

http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html
ルベーグ積分インデックス 理系インデックス

第３章（Ｐ）　追加事項

微分積分学の基本定理〜ルベーグ積分ｖｅｒ

http://rikei-index.blue.coocan.jp/index.html
理系インデックス

理系インデックスは大学で学ぶ数学と自然科学に関する内容をまとめています。

２０１０年１月ＯＰＥN

※　管理人 ツエ＆トキ （化学科）

>>441 関連
>（余談だが、下記”ディニ導関数は可測であることが知られている。”は、舌足らずだろうね （＾＾ ）

言いたいことは、下記かな
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14161354049
yahoo 知恵袋
aguilder729さん2016/7/702:04:46
ルベーグ可測関数のディニ微分はまたルベーグ可測となりますか？

ベストアンサーに選ばれた回答
usagioqさん 2016/7/918:33:56
なります
一般的に可測関数の limsup などは可測です

>>439 追加

下記では”Diniの導来数”
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b48ebd53c2e741330526f5d3ff71586f
ルベグ積分入門(新数学シリーズ23)：吉田洋一 とね日記 20100430
(抜粋)
「最初からこの本で勉強すればよかった。」というのが正直な感想だ。「はじめてのルベーグ積分：寺澤順」や「ルベーグ積分超入門：森真―」など手軽な入門書でおおまかなところを理解してから詳しい教科書に進もうという当初の目論見は失敗した。

僕がこの本になかなか手を出さなかったのは・・、いろいろ研究されているぶん新しい教科書のほうがわかりやすいだろうという先入観が災いしてしまった。

ルベグ積分が難しいのは、同じような定理や証明が延々と続くことと、それらが自明に思えてきてしまうため、細かい証明のひとつひとつが「果たしてこれって証明しなきゃいけないことなの？」と思えてしまうことが多いからだ。
数学のほかの分野の証明で経験するような「あ、なるほど！」とか「こんなふうにして証明できるんだ！」とかいう感動がほとんどない。（僕だけなのかもしれないけれど。）

そんな地味な本ではあったが、僕が面白く読めたのは「付録：反例そのほか」の章だ。自明でない例というのは不思議で興味をそそられるものである。

より専門的に詳しく学びたい方は次の本をお勧めする。こちらも１９６３年に出版されたルベーグ積分の名著。ただ今回の本にも増して忍耐が要求されるので、僕は手を出すかどうか迷い中。

「ルベーグ積分入門：伊藤清三」http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4785313048

ネット上の無料教材でルベーグ積分を学んでみたい方には以下をお勧めする。

ときわ台学：ルベーグ積分入門
（とてもわかりやすいので、特にお勧め。）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/000lebrg.html

ルベーグ積分入門（PDF)：吉川敦
http://www7b.biglobe.ne.jp/~yoshikawa/lebesgue-lecture.pdf

ルベグ積分入門吉田洋一 http://astore.amazon.co.jp/tonejiten-22/detail/4563003239 2015年8月6日にちくま学芸文庫から復刊することになりました

目次
第６章：微分法と積分法
- Diniの導来数
(引用終り)

>>433
> これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾
> おっさん、がんばれよ（＾＾

証明は既に終わっている
スレ主が証明を読めずに難癖つけているだけという状況です

スレ主は一年生向け教科書を勉強し終わるまでROMってろ

>>439

”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾

（引用の文字化けご容赦。PDFからの単純コピペなので）
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/96512/1/KJ00004707401.pdf
カオス脳理論(生命的なものへの動力学アプローチ-変わることで意味をもつものの研究-(北大数学科複雑系数理グループ)) 津田 一郎 物性研究 (1999), 71(4): 694-700
(抜粋)
P696
特異連続でいたるところ微分不可能なアトラクター

連続でいたるところ微分不可能な関数は古くから知られており､代表的なものにワイエルシュ
トラス関数､高木関数(HataandYamaguti,1984)などがある｡最近､カント-ル集合上で連続
でいたるところ微分不可能と呼べるような関数の例が見つかった(R6sslerandR6ssler,1992)0
そこで､まずカント-ル集合上で連続(特異連続と呼ぶ)な関数の定義を与え､カント-ル集合
上で定義された関数の微分可能性をデイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡テンプルの本が物
理学者むけの良書である｡Tit血marshも見よ｡)を使って定義し､上記の関数が実際に特異連続
で微分不可能であることを示した(TsudaandYamaguchi,1998)｡また､特異連続で微分不可能
な関数のグラフがアトラクターになるような力学系の例を構成した(R6ssler,Knudsen,Hudson
andTsuda,1.995)oこれは､スメイルのソレノイドを拡張したものになっているO 構成した系は
公理A力学系と呼ばれる数学的には性質の良い系であるが､応用上はあまり面白くない｡そこで､
神経回路網でこのような特異なアトラクターを生成するものを作り､コンピューターシミュレー
ションを行った(上記TsudaandYamaguchi,1998)｡ここで､カント-ル集合上での情報のコー
ド(符号化)とデコード(復号化)という新しい情報概念が得られた｡また､このような特異なア
トラクターを生成する力学系の構成方法を部分的に明らかにした｡縮小型力学系とカオス力学系
の斜積変換で､カオス力学系が独立変数である場合である｡ここで､斜積変換(SkewProduct)を
2変数の場合に直感的にいうと､一方の変換に依存して他方の変換が決まるものである｡特異連
続でいたるところ微分不可能なアトラクターとカオス的遍歴が関係する可能性も議論されている
(Tsuda,1996)
(引用終り)

>>414
おっちゃんです。
>ジハードでもないんだよね、こちらは・・（＾＾
>時枝のときと同じで、「納得できないから、納得できない」と言っているだけのことだよ
ジハードを聖戦や正義のための戦争と解釈しているようだけど、
ジハードって、本来はイスラム教の神(アッラー)を信じる
イスラム教信者(ムスリム)全員がする行いの中の1つで、「努力」って意味だよ。
日本では、いつの間にか、国中に間違った意味の「聖戦」が広く知れ渡っているけど。

>>414
つまりね、ジハードを「聖戦」と解釈するのは大きな間違いで、正しくは「努力」と解釈することになる。

＞”デイニ微分(ルベーグ積分の入門書を見よ｡”か・・
＞おれは、ほんとに勉強不足だな〜（＾＾
かっこつけんな、お前は解析概論の1章からだｗ

￥さんのダチの山上　滋先生より下記

http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
ルベーグ積分速講 山上　滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日
(抜粋)
とうとうやって来ました「ルベーグ積分」。避けていたわけではないのですが、できればあまりしたくない
というのが本音でした。こういった類の授業を積極的に担当したいと思う人は、きっと良心的な先生なので
しょう。不良教師の一人としては、「教えて身につくものでなし」という繰言をつぶやくだけです。ただささ
やかな救いは、以前から、そういった状況に立ち至った場合に試してみたいと思っていたアイデアがあったこ
とでしょうか。
いわゆるルベーグ積分の構成をPeano-Jordan-Borel 路線の流れのなかでLebesgue が達成したように、
「測度」の概念自体はとても素朴な感じがします。できるだけ沢山の図形に面積を付与したいということなの
で。技術的なレベルの違いはあっても、Archimedes の昔からあった発想の自然な延長線上にあるわけで、あ
る意味正統な方法でもあったと言えるでしょう。
一方で、積分なるものは、Gallilei, Pascal, Torricelli, Fermat 等の錚々たる達人の手を経てNewton・
Leibniz によって最初の集大成がなされました。その後も、微積分の発展に伴って概念の精密化への要求が高
まり、Cauchy によって、今ある微積分の内容がほぼ確立しました。もちろん、その中には、和の極限として
の積分の定義も含まれています。
さて、測度（面積・体積）と積分ですが、「にわとりと卵」の例えにも似て、お互いが他を規定するといっ
た表裏一体の関係にあります。面積を計算しようと思ったら積分に訴えるのが常道ですし、一方、積分は、対
象となる関数のグラフの与える図形の面積とみなせるわけで、どちらがより本質的であるとは一概に言えま
せん。

つづく

>>450 つづき

現在広く行われているルベーグ積分の導入方法は、測度論から入り積分の諸性質に至るという、測度優先論
が多数派を占めているようです。これは、ひとつには、現代確率論が、測度論を基礎に据えることで長足の進
歩を遂げた、という事情が反映していることに理由があるのでしょう。実際、世にある積分論の教科書は、確
率論の専門家の手になるものが多いように思われます。
翻って、もうひとつの方向性である「積分から測度」ですが、これも実は、ルベーグ積分論の比較的初期の
段階でDaniell 等によって確立されています。この方法の特色は、積分の諸定理に至る道程をかなり短縮でき
る点にあります。「積分の計算・評価が効率的かつ安全にできれば、測度論はあってもなくても良い」といっ
た利用者には、福音となり得るものでしょう。そこまで功利的にならなくても、関数主体の方法は、測度を導
入する上でも教育的に優れた点があるように思っておりました。この「積分から測度へ」というスローガンの
下、用意したのが以下の講義ノートです。学生の皆さんには、モルモットになって貰うようで、申し訳ない気
もしますが、しばらくお付き合いください。
参考書をいくつか挙げておきます。

つづく

>>451 つづき

11 Postscript
もともと、このノートは「数学が不得意な数学科の学生」をイメージして用意したものであるが、いみじく
も過去の授業アンケートで指摘されたように、工夫が空回りしているのかも知れぬ。一般の位相空間ではな
く、敢えて距離空間に限定したのもそういったことの反映である。かつてDieudonne で学んだ際、その構成
に泥縄式の印象を持ったものであるが、今は、深い意図があったのやも知れぬと思っている。
上で数学が不得意云々と書いたのは、皮肉でも何でもなく、本心から同情あるいは共感を覚えるからであ
る。数学が得意というか好きで好きでたまらないような人は、私が相手をするまでもない、勝手にするだけで
ある。
しかし、ここで少し欲を吐き出すと、待てよ得意な学生がこれを読んだって悪くはないのではないか、そう
いう連中は位相空間なんかも好きでたまらないはずであるから、距離空間という限定詞を位相空間に置き換え
て、ついでに証明なんかも好みの形に書き直して読めば、多少は楽しんで貰えるのではないか。測度論の証明
を自ら考え出すこと（そういうとんでもないことを実行してしまう人が必ずいるのです）を思えば、楽勝では
ないかと。ついでにRadon-Nikodym なんかも積分論的に格調高く書き直して貰えると、数学が不得意な数
学教員としては、教師冥利に尽きるというものである。

(引用終り)
以上

（参考）
http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/teaching.html
講義ノート 山上　滋

授業のために用意したノートです。
学生の自習用に公開するもので、詳しい目の本と併用するとよいでしょう。

・ルべーグ積分

http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/
Shigeru's Scratchy Shelf

This is a webpage on mathematics and related topics maintained by YAMAGAMI Shigeru
under the support of Department of Mathematical Sciences, Ibaraki University.

Last modified: 2009/10/05

>>447-448

おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾

>>450
>http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/teaching/integral/integral2007.pdf
>ルベーグ積分速講 山上　滋 Ibaraki University 2007 年 5 月 23 日

ここには、デイニ微分が出てこないようだ（＾＾

スレ主はデイニ微分の前にεδ論法を理解すべし

>>430
＞後出し後出し
＞おっさのウソ、分り易くていいわ（＾＾
＞「じゃ、そう書いておけ」ってことよ

絶対に書かない。「リプシッツ」という余計な言葉を持ち出して散々トンチンカンな間違いに陥っていたゴミクズに、
そこで新しく「ディニ微分」という余計な言葉を俺の方から差し出すことに何のメリットがあるんだ？

「 limsup を計算するのに余計な言葉は必要ない。定義に沿って機械的に計算するだけ 」

と何度も書いただろ？そういうスタイルで議論してきた俺が、
俺の方から新しく「ディニ微分」という言葉を持ち出すわけがないだろ。

まあ、俺が差し出したリンク先にはウッカリ書いてあったようだがなｗ

そして案の定、お前はディニ微分というキーワードから

＞”f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。”とあるじゃない！！（＾＾

とか

＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
＞これに較べれば、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”（>>303）は、えらく強い条件に見えるけどな（＾＾

などという、例の定理とは全然違う主張を引っ張ってきて、「この主張は例の定理と(ほとんど)同じことを言っている」
などと大きな勘違いを起こしているのである。となると、結局は >>404-407 の話に帰着する。
そして、スレ主はまだ >>404-407 に返答していない。