[続き]

他には

ttps://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22
&source=bl&ots=fQgmSNxSiV&sig=GbK_ENnoXVFjLvnxGtH_1N3xygI&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwiO4P2Pt5jYAhUK5
LwKHZQuApUQ6AEIPzAC#v=onepage&q=limsup%20&f=false
(ページ215, 216, 217)

これも挙げておく(※リンクが長すぎて投稿不可と出たので、リンクは改行してある。コピペするときは手作業で改行をなくすこと)。
書き方が抽象的だが、やっていることは同じ。こちらも、「 ＜＋∞ 」という記号が途中で使わている。
拡大実数の中における普通の不等式なのだから、使われるのは当たり前である。
ちなみに、スレ主が大好きな wikipedia でも、拡大実数の中で limsup を定義している。

ttps://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior

何度も言うが、いったん拡大実数の中で limsup を定義したならば、「 ＜＋∞ 」という記号は
拡大実数の中における普通の不等式なので、well-defined に意味が定まる。

これで満足か？俺の独自定義ではなくて残念だったな。
(そもそも、独自定義か否かで何かを批判しようとしている時点でズレているのだが。)