現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48

“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

>>473

なるほど、あんた力あるね

しかし、f : R → R￣ なら
f(x)＝1/x は

lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞

と解するべきと思うがね

ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で

lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞

これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）

>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。

微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない

>>477
＞f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
＞各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？

知らない。
俺は「どんな f に対しても簡単に判定可能なアルゴリズムを見つけた」と主張しているわけではないからな。


>>478
＞lim x→-0 f’(x) ＝+∞
＞lim x→+0 f’(x) ＝+∞

その2つの式は正しい。だが、B_f とは無関係。お前は未だに何かを勘違いしている。

＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・

原点を含む十分小さな開区間 (−ε, ε) の中の任意の点 x で

f'(x)＝＋∞

が成り立つというのであれば、(−ε, ε) ⊂ R−Bf が成り立つので、
R−Bf は例の被覆が「できない」ことになる。しかし、実際には、x≠0 なら常に

f'(x) ＝ −1/x^2

であり、ゆえに

Af(x) ＝ 1/x^2

であり、ゆえに R−{0} ⊂ Bf であり、ゆえに R−Bf ⊂ {0} であり、
ゆえに、R−Bf は例の被覆が「できる」のである。

>>478
＞これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
＞まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・

既にレスは書いたが、ここについては、次のような言い方をしてもよい。
まず、お前の主張が正しいとすると、

(−ε, ε) ⊂ R−Bf

が成り立つことになる。R−Bf ＝ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } に注意して、

(−ε, ε) ⊂ { x∈R｜Af(x)＝＋∞ } … (1)

が成り立つことになる。では、x＝ε/2 としてみよう。
このとき、x∈(−ε, ε) だから、(1) により

Af(x)＝＋∞

が成り立つことになる。一方で、f'(x)＝−1/x^2 だから、Af(x)＝｜f'(x)｜＝1/x^2 であり、
Af(x)＝＋∞ に矛盾する。よって、お前の主張は自動的に間違いである。

>>479-480

了解

話は飛ぶが
昔から、数学素人が、「定理を証明しました」というとき

１．従来の数学の範囲の定理の再証明（新しい証明の場合もある）
２．（あるいは）素人の勘違い

このどちらかと、99％相場が決まっている（1％新定理があるかもしれないが）
で、いままでのやり取りから、あんた素人の数学おたくで、相談すべきレベルの高い友達（あるいは指導者）がいないね

だから、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、検証しようという意識が薄いね
一方、プロは自分の証明した定理が、新規かどうか？ そこが命だし、自分の定理の意味や、従来の数学理論との関係や整合性を、きちんと検証するものだ

上記の１かどうかの見極めが、まず先だ。例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、うんぬんとか
そういうことが無ければ、99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）

そんなものに、うっかり乗せられたら、えらいことだよ〜！！（＾＾

まあ、年末で忙しいので、ゆっくりやるよ
が、あんた、ピエロやHigh level peopleと違って、レスポンスのレベルが高いので、遊び相手としては面白いわ（＾＾

まず、”ディニ微分”というキーワードが見つかったので、「１．従来の数学の範囲の定理の再証明」の線を調べつつ
それ（１項関連）が見つからなければ、その過程で「２．（あるいは）素人の勘違い」ってことがはっきりするだろう

>>481
新規の定理って言ってないじゃん
まったく話が成り立たねー

Ulisse Dini (14 November 1845 〜 28 October 1918) was an Italian mathematician and politician, born in Pisa.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ulisse_Dini

いまさら、ディニ微分使った新定理を
素人が？

その見極めが先だろ

スレ主　国語　国語

>>481
＞例えば、>>439 「Denjoy-Young-Saksの定理」から、導かれるとか、

ぜんぜん導かれない。息を吐くように間違えるゴミクズ。その定理は

「 ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して〇〇が成り立つ 」

という書き方の定理である。一方で、>>458 で既に述べたように、

・ 第一類集合であって、ルベーグ測度がゼロであるもの・正であるもの、がそれぞれ存在する

ことが知られている。よって、「ほとんどすべての x で〇〇が成り立つ」という性質が
言えようが言えまいが、例の定理とは関係が無い。

>>483
ご老人よ、何度も同じことを言わせるな。「新発見ではない」と何度も言っている。
我々が文献を見つけてないだけ。

strradle lemma ＋ ベールのカテゴリ定理

で終わるような演習問題レベルの定理に、新発見もクソもない。
息を吐くように間違えまくるゴミクズが いつまでも騒ぎ立ててるだけ。

「こんな定理を証明しました。これが実際の証明です」

普通の数学徒の反応：

へえ、正しいですね(ま、演習問題レベルのようだし、こんなもんでしょう)。

スレ主の反応：

ワタクシの直観ではこの定理は成り立たない (←でも反例は提示できない)

これが反例になるのではないか (←ぜんぜん反例になってない)

この定理からすぐに従うのではないか (←ぜんぜん関係のない定理)

こんな定理が新発見の定理なわけがない (←誰も新発見だとは言ってない)

この経過を見ると、最初は「反例」ばかりを考えていたスレ主が、いつの間にか
「この定理からすぐに従うのではないか」という真逆の方向に舵を切りつつあることが分かる。
こんな定理が新発見のわけがないので、探せばいつかはピッタリの定理が見つかるだろうが、
「間違っている」とイチャモンをつけていたスレ主にとっては、ピッタリの定理が見つかった時点で
スレ主の負けである。つまり、スレ主は自分から負ける道を歩きつつあるという皮肉ｗ

こんなにも丁寧で理路整然とした説明を長々と受けておきながら、
実質2ページの短い証明すらまともに読めず（limsupすら知らないという笑）、
くだらないイチャモンをつけまくってるスレ主は数学板史上最悪のクズ野郎である

>>481
> 99％は、 ２の”素人の勘違い”だろう。（１％の可能性は担保しておくが）

いままでのところを整理しておこう

・証明を読むだけが数学ではない
・数学は理論体系である
・ある定理が、数学の理論体系の中に、どう位置付けられ、他の定理との関係も理解・把握しておくことが非常に大事だ

つづく

>>488 つづき

(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

・ディニ微分関連で
　lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜が、４つのディニ微分を使って
　Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ } と表わされることがはっきりした（>>464）
・と、同時に、リプシッツ連続との関係も明らかになった（>>468）

つづく

>>490 つづき

さて、定理1.7 (422 に書いた定理)のそもそもの目的は、変形トマエ函数（Ruler Function）関連で、
「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」を導くことであった

変形トマエ函数（Ruler Function）関連については、過去スレで取り上げているが、いま一度整理すると
（長いが、あとのために抜粋する）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
（注：下記で、f^rなどとして、ｒの指数による類別をしている）
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.

It is well-known that f is continuous at each irrational
point and discontinuous at each rational point.

** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that
has c many points in every interval.

The results above can be further refined.

** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise
Lipschitz condition. Heuer [15]

** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and
satisfies a pointwise Lipschitz condition on
a set that is dense in the reals. Heuer [15]

** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose
intersection with every open interval has Hausdorff
dimension 1 - 2/r. Frantz [20]

つづく

>>491 つづき

Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)

つづく

>>492 つづき

---------------------------------------------------------------
[4] Bohus Jurek, "Sur la derivabilite des fonctions a
variation bornee", Casopis Pro Pestovani Matematiky
a Fysiky 65 (1935), 8-27. [Zbl 13.00704; JFM 61.1115.01]

It appears that Jurek proves some general results
concerning the zero Hausdorff h-measure of
sets of non-differentiability for bounded
variation functions such that the sum of the
h-values of the countably many jump discontinuities
is finite (special case: h(t) = t^r for a fixed
0 < r < 1). General "h-versions" of the ruler
function seem to appear as examples, and V. Jarnik's
more precise results about the Hausdorff dimension
of Liouville-like Diophantine approximation results
are used.

This paper is on the internet at

http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D98714.html
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&;did=D98723

つづく

>>493 つづき

---------------------------------------------------------------
[15] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at the
irrationals and discontinuous at the rationals",
American Mathematical Monthly 72 #4 (April 1965), 370-373.
[MR 31 #3550; Zbl 131.29201]

Let f(x) = 0 if x is irrational, f(p/q) = |1/q| if
p and q are relatively prime integers, and f(0) = 1.

We say that a function g is Lipschitzian at x if there
exists a neighborhood U of x and a number M > 0 such
that |g(x) - g(y)| <= M*|x - y| for all y in U.

THEOREM 2: The function f^r is: (A) discontinuous at the
rationals for every r > 0; (B) continuous but
not Lipschitzian at the Liouville numbers, for
every r > 0; (C) differentiable at every irrational
algebraic number of degree <= r-1, if r > 3.

THEOREM 3: The function f^r is differentiable at every
algebraic irrational number if r > 2 (and, by
Theorem 1, at none if r <= 2).

THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]

THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.

つづく

sage

>>494 つづき

(p. 373) "We omit the proof, because it is rather lengthy,
and one would hope to generalize the theorem by replacing
the rationals by an arbitrary dense set, and possibly to
show that the set of points at which g fails to be
Lipschitzian is a residual set."

NOTE: Sengupta/Lahiri had essentially obtained this result
in 1957 (the points of discontinuity have to form an
F_sigma set, however). See my remark in [13] above.
This result is also proved in Gerald Arthur Heuer,
"A property of functions discontinuous on a dense set",
American Mathematical Monthly 73 #4 (April 1966),
378-379 [MR 34 #2791]. Heuer proves that for each
0 < s <= 1 and for each f:R --> R such that
{x: f is continuous at x} is dense in R and
{x: f is not continuous at x} is dense in R,
the set of points where f does not satisfy a
pointwise Holder condition of order s is the
complement of a first category set (i.e. a co-meager
set). By choosing s < 1, we obtain a stronger version
of Sengupta/Lahiri's result. By intersecting the
co-meager sets for s = 1/2, 1/3, 1/4, ..., we get
a co-meager set G such that, for each x in G, f does
not satisfy a pointwise Holder condition at x for
any positive Holder exponent. (Heuer does not
explicitly state this last result.) A metric space
version of Heuer's result for an arbitrary given
pointwise modulus of continuity condition is essentially
given in: Edward Maurice Beesley, Anthony Perry Morse,
and Donald Chesley Pfaff, "Lipschitzian points",
American Mathematical Monthly 79 #6 (June/July 1972),
603-608 [MR 46 #304; Zbl 239.26004]. See also the last
theorem in Norton [17] below.

つづく

>>496 つづき

で、今回の「(a, b) 上でリプシッツ連続である」に関連する部分のみを、さらに抽出すると

[15] Gerald Arthur Heuer先生

THEOREM 4: The function f^2 is Lipschitzian but not
differentiable at the points of the set
{(1/2)*[m - sqrt(d)]: m is an integer
and there exists an integer n such that
d = m^2 - 4n is positive but not a perfect
square} . [This set is dense in the reals.]

THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the
rationals and continuous at the irrationals,
then there is a dense uncountable subset
of the reals at each point of which g fails
to satisfy a Lipschitz condition.

かな？

特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと

だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている

では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？

[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！

これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う

まあ、年末は忙しい

ゆっくりやりましょう（＾＾

以上

>>497 補足

1)THEOREM 5: If g is a function discontinuous at the rationals and continuous at the irrationals, then there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.

2)「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」

この二つの比較で、2)の”無理数の点で微分可能”なら、1)THEOREM 5の”continuous at the irrationals”は、満たされる
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”から、有理点以外で必ず”at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition”なる（無理）点が存在する
その（無理）点は、微分不能

だから、1)THEOREM 5より、2) 系1.8は、導くことができる

以上

不正の件、洗い出し終わった

　[正]Air値→ヤング図
　[正]Air値→タワー(平面的フェラーズ盤)
　[正]ヤング図→母関数導出
　[正]タワー→母関数導出
　[正]ヤング図母関数→ P(n,m)互換
[不正]タワー母関数→ P(n,m)互換

考えてみれば分かるけど3次元なのに2次元でやろうとしてる所がヤヴァかったです。
pp(n)ｑ^nでやらなきゃ…ねぇ…
なんかもう疲れたからPP(n)q^nやらずに、
ヤング図ポセットでの成長を考えます。
フォースと共にあらんことを。

書くスレ間違えた

>>490
>>501の下から2行目の訂正：
或る正の実数Kが存在して、 → 或る非負実数Kが存在して、

>>490
＞補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？

何度も同じことを書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとき、
A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。つまり、

質問「補集合 R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる とは何だろうか？ 」
回答「 R―Bf は第一類集合である、ということだ」

ということである。ま、これでは単なる言葉の置き換えに過ぎないのだが、
権威主義のスレ主には、この書き方の方がヘンなイチャモンをつけにくいだろうｗ


>>490
＞・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない

今回のスレ主の話の中では本質的ではないが、この発言そのものは間違っているので指摘しておく。

孤立点だけで構成された集合(すなわち離散集合)は高々可算無限集合にしかならないが、
内点を持たない閉集合であって非可算無限集合であるものが存在する。
たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合だが、カントール集合は非可算無限集合である。

また、一点集合 {p} は常に「内点を持たない閉集合」であるが、カントール集合は非可算無限集合なので、
カントール集合を「一点集合の可算無限和で被覆する」という芸当も不可能でる。

よって、「ほかならない」というスレ主の言い方は間違っている。

>>497
＞だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
＞では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
＞これを見極めない限り、素人の証明を読んでも仕方が無いと思う

・ なぜ (B) では実現不可能かというと、例の定理に抵触するからだよｗ

・ なぜ例の定理が成り立つかというと、ベールのカテゴリ定理を使ってるからだよ。

・ ベールのカテゴリ定理に帰着させるために、技術的には１つの補題が必要になり、それが「補題1.5」だよ。

・ 例の定理の証明とは無関係に、(B) で実現不可能な理由をスレ主が独自に探っていっても、
　 結局はベールのカテゴリ定理に帰着させるハメになり、例の定理の証明と同じことをするハメになるだろうｗ

この４項目の見極めで十分だろ。
そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。

>>490
>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
違うよ
境界点だけということ
境界点が孤立してなくてはいけないわけではない

>>497 関連

無理数で微分可能で、有理数のみ微分不可能という
函数の構成があったので、貼っておく（＾＾

http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
ANALYSIS A CONTINUOUS FUNCTION NOT DIFFERENTIABLE AT THE RATIONALS BUT DIFFERENTIABLE ELSEWHERE NOVEMBER 30, 2014 JEAN-PIERRE MERX Math Counterexamples
(抜粋)
We build here a continuous function of one real variable whose derivative exists on R?Q and doesn’t have a left or right derivative on each point of Q.

As Q is (infinitely) countable, we can find a bijection n→rn from N to Q. We now reuse the function f defined here.
http://www.mathcounterexamples.net/a-differentiable-function-except-at-point-with-bounded-derivative
Recall f main properties:
略
This proves that hh is differentiable at aa with h′(a)=limn→+∞h′n(a). For a∈Q, we can find p∈N with a=rp.
Following a similar proof than above, the function lp:x→h(x)−up(x) is differentiable at a.
As f does not have left and right derivatives at 00, upup does not have left and right derivatives at a.
finally, the equality h=lp+up implies that hh also does not have left and right derivatives at a.

Conclusion:
the function h is differentiable at all irrational points but does not have left or right derivative at all rational points.
(引用終り)

>>504
>そろそろ例の証明を読んでみたらどうだね。
同感です

>>505
ID:ndfap2+Cさん、どうも。スレ主です。

レスありがとう（＾＾
あなたは
(>>401)
"どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外"
と書いてくれた人かな？

>>・いま、考えている通常のRにおいて、「内点を持たない閉集合」とは、孤立する１点から成る集合にほかならない
>違うよ
>境界点だけということ
>境界点が孤立してなくてはいけないわけではない

ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
ちょっと考えてみるよ

＞ああ、あなたは、レベル高そうだな（＾＾
と、一年生の授業に着いていけない落ちこぼれが申しております

>>507
ID:ndfap2+Cさん、あなたはレベル高そうだから、聞くが

（>>497より）
「特に、THEOREM 5 変形トマエ函数（Ruler Function）のような、有理数で不連続、無理数で連続なる函数では、
”there is a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.”
だと
だから、（A）”a dense uncountable subset”で、リプシッツ連続は満たさないは、実現できている
では、なぜ、（B）”内点を持たない閉集合の高々可算和”は、実現することができないのか？
[15] Gerald Arthur Heuer先生の（A）と、定理1.7 (422 に書いた定理)の（B）との差！」
の私の疑問点について、あなたの解釈は？

別に分り易く書いてくれとは言わないが

書いてくれたことに、一定の納得がいって、定理1.7（>>489）が、成り立ちそうということが見えれば、証明を読むことはやぶさかではない

だが、反例がありそうな証明を読むことは、特に必要がある場合は別として、私はしない（教科書に載っている、あるいは投稿論文の定理は別として）

>>499-500
BLACKX ◆jPpg5.obl6さん、どうも。スレ主です。
考察進んでいるようで、なによりです（＾＾

>>508
違うよ

>>512
違うのか！　それは残念だな（＾＾

ところで、>>513 に引用したけど、
” ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合である”は、良いんだろ？

で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ）

上から目線でものを尋ねるアホ主

>>513
＞あの・・、補集合 R−Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”とできない場合だよね

補集合 R−Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。

” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”

という曖昧な書き方では色々な誤解が入り込むので、そんな書き方をしてはいけない。
特にスレ主は、そんな書き方をしてはいけない。
繰り返すが、補集合 R−Bf というのは、Af(x)＝＋∞ が成り立つ x の集合のこと。


＞で、これは、R上で稠密であってはならない
＞(中略)
＞補集合 R−Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R−Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ

息をするように間違えるゴミクズ。

R−Bf が R 上で稠密であり、なおかつ「 R−Bf が第一類集合」が成り立つならば、
例の定理が適用できて、スレ主の指摘と合わせて矛盾が起きるので、その場合は
スレ主の言うとおりのストーリーになる。
しかし、R−Bf が R 上で稠密であっても、「 R−Bf が第一類集合」であるとは限らないので、
その場合は、例の定理がそもそも適用できず、スレ主のストーリーは破綻する。

つまり、今回のスレ主の勘違いは、「稠密なら自動的に第一類集合である」と勘違いしているところ。

これは俺からレスを書くと横レスになってしまうが、一応書いておく。

>>514
＞で、1 点集合以外で、R上において「内点を持たない閉集合」としては、どんな例があるのかな？（ >>505より ）

ご老人よ、「カントール集合が該当する」と既に２,３回も書いているぞ(たとえば>>503)。

・ カントール集合は内点を持たない閉集合である。

・ もしカントール集合が一点集合の可算無限和で表現できるなら、
　 第一類集合の観点からは一点集合を考えているのと同じことになってしまうが、
　 実際にはカントール集合は非可算無限集合なので、そのようには表せない。

・ すなわち、カントール集合はスレ主の質問に対する明確な回答である。

スレ主は本当にボケてるんじゃないか？

>>514
[0,1]-∪[0<i<n](i/n-1/n^3,i/n+1/n^3)
はどうかな

>>517 & >>519

定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？

（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
各Fiは内点を持たない,
S ⊆ ∪iFi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」

だったよね？

Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？

そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？

”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？

>>520
> >>517 & >>519
>
> 定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？
>
> （ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF より）
> 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
> 各Fiは内点を持たない,
> S ⊆ ∪iFi
> が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」
>
> だったよね？
>
> Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
>
> そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
>
> ”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？


会話が成り立たないにもホドがあるだろｗ

>>520
>Fiとして、"一つのカントール集合"を許す？
当然ですよ
>そうすると、”個数”の数え方があいまいになるだろ？
どうして？
カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
当然ですよ

朝からちょっとだけ。

>>520
既にレスしてくれている人が居るが、俺からもレスしておく。

＞定理の定義を、カントール集合まで拡張しようというのかね？

拡張ではなく、最初からそういう適用が可能であるような定義になっている。
定義をキチンと読み直せ。もはや数学ではなく国語の問題である。

>>520
あるいは、権威主義のスレ主のために、次のような言い方をしてもよい。
まず、>>503 で書いたことを もう一度書くが、集合 A が内点を持たない閉集合の高々可算和で
被覆できるとき、A のことを「第一類集合」と呼ぶのである。従って、例の pdf の

＞ 「定義1.2 (X,Ｏ) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
＞ 各Fiは内点を持たない,
＞ S ⊆ ∪iFi
＞ が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書くことにする.」

この記述は、「 S は第一類集合 」の定義を書いているだけである。
これとスレ主のトンチンカンな主張を組み合わせると、

「定義1.2 の集合 S は、各 F_i が高々可算無限集合でなければ第一類集合とは呼ばない( F_i に連続濃度を許すと、個数が曖昧になる)」

というアホな主張をしていることになる。しかし、第一類集合 S であって、
F_i を可算無限に限定することが出来ないものが ごく普通に存在するので、
この時点でスレ主は間違っていることになる。

ま、いずれにしても本質的には「国語の問題」なので、
スレ主はキチンと定義を読み直すことだ。

>>521-522
>>カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
>当然ですよ

なんだよ（＾＾
早く言ってくれればよかったのに（＾＾

でな、下記

リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？

で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で
”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ

つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと
で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？

(>>151)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(>>494)
(抜粋)
THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0;

(>>492）
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

つづく

>>526 つづき

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
以上

スレ主　国語　国語

双方ともWikipediaに書いてあることを力説してるだけかｗ

>>529
Yes！
レスありがとう（＾＾

おれの方は特にそうだよ
ここは、学会じゃない

庶民の雑談の場だよ（＾＾

おれは、あほバカで
定理のおっさんは、基地外だ（＾＾

>>529
ぷ

>>526
最初からそういう定義なんです
ところで
その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
そしてその補集合の濃度が非可算であると？
実際にどういう集合か分かりませんが
可算集合→可算個の疎な閉集合で覆える
は当たり前ですが同値ではありませんので
``反例''になっている``根拠''としては薄いと思います

>>531
「ぷふ」さん、お元気そうでなによりです！＼（＾＾／

「ぷふ」さんには、感謝していますｍ（＿ ＿）ｍ

例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾

>>532
「ぷふ」さん、どうも（＾＾

>最初からそういう定義なんです

ああ、そうなんですか？　定理を書いた人の話は、最初それに否定的だったように聞いた気がしたが・・。気のせいかな（＾＾

>その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？

Yes！
(>>526より)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
(引用終わり)

一つは、この上記ｆ（トマエ関数）をｒ乗した関数を考えているわけです。なのでYes！（それで、ｒはいくらでも大きく取れる）
もう一つは、 f(x) = 1/q^rではなく いかなるq^rよりも早く増大する（つまり、いかなる1/q^rよりも早く減少する）関数
w(q) を取って、f(x) = 1/w(q) としましょうということ。でも、無理数点で”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition”が残ると

ここらは、上記のURLを読んでもらう方が話は早いでしょう
（なお、>>527の”co-meager (residual)”は、ベールの範疇定理の用語と解しています。
　”c points”がいまいち分らんですが・・（＾＾ ）

以上

>>526
＞リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
＞リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？

息をするように間違えるゴミクズ。

リウヴィル数の全体を L と置く。お前の持ち出した例では、L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないので、
このままでは例の定理に帰着できず、全く反例になってない。

では、R−B_f ⊂ L が成り立つと仮定した場合はどうか。ここでは一般的に、
R−B_f ⊂ L が成り立つような任意の写像 f：R→R について考えることにする。

L は内点を持たない集合で、L は非可算無限集合である。
よって、もし L 自体が閉集合なら、L は内点を持たない閉集合「１つ」となるので、

「内点を持たない閉集合 F_i の高々可算無限和」… (1)

として F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) を採用すれば、R−B_f ⊂ L という包含は

R−B_f ⊂ F_1

を意味することになる。特に、R−B_f は(1)の被覆ができていることになり、例の定理が適用できる。
しかし、L は R 上で稠密なので、既に議論されたことと同じことをすれば矛盾し、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L 自体は全く閉集合ではないので、L そのままでは、R−B_f について(1)の被覆が
出来ていることにならず、スレ主の目論見は失敗に終わる。

[続く]

[続き]

ここで、L の各点 p に対して、一元集合 {p} は閉集合であることに注意する。
そこで、各 p∈L を適当に番号づけて F_i＝{p} と置き直して、

L＝∪_i F_i

と表すことを考える。もしこのような芸当が可能ならば、R−B_f ⊂ ∪_i F_i となるので、
やはり例の定理が適用できることになり、そして矛盾するので、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L が非可算無限集合であるがゆえ、{p} も非可算無限個となるので、
F_i＝{p} と置く場合の F_i は可算無限個に収まらず、よって、このような F_i の置き方では
L＝∪_i F_i という表現はできない。スレ主の目論見は やはり失敗に終わる。

このように、仮に R−B_f ⊂ L が言えているとしても全く反例にならないのである。
しかも、実際にスレ主が持ち出した例は L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎず、余計に反例になってない。
結局、今回のスレ主の間違いは、次の3つである。

・ L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないシロモノを持ち出してきても、ぜんぜん反例になってない。

・ 仮に R−B_f ⊂ L が言えているとしても、R−B_f について(1)の被覆が出来ないので、やはり反例になってない。

・ どうもスレ主は、F_i の置き方をキチンと意識してないがゆえに、いつの間にか可算無限個の F_i で
　 L＝∪_i F_i と表現できているように勘違いしている節がある。

補足：

リウヴィル数の全体を L と置いたのだったが、この L は第「二類」集合であることが知られている。よって、

L ⊂ R−B_f

が成り立つような任意の f：R→R に対して、R−B_f は例の被覆が絶対に不可能であることが自動的に従い、
よって例の定理の適用範囲外となる。

一方で、スレ主の持ち出した f^r (r＞0, f はトマエ関数) に対して

L ⊂ R−B_{f^r}

が成り立つのだから、結局、これらの f^r は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。

>>535
>実際には、L 自体は全く閉集合ではない

出典は？

>>538
＞出典は？

バカなの？ L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて

L＝R

になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。

さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している

＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.

についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、

「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」

と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。
よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、

A ⊂ R−B_g

が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R−B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが
自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。

特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ

そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた
「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を
読まなければならなくなった。

>>539
>L は R 上で稠密なんだよ？もし L が閉集合なら、L の稠密性と合わせて
>L＝R
>になってしまって矛盾するだろうが。だから、L は閉集合では無いんだよバカタレ。

それなら、Qも閉集合ではないだろ
ならば、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
に適用して良いのか？

>>541
Qも閉集合じゃありません
しかし可算集合なので
可算個の疎な閉集合で覆えるのですよ

>>530
＞おれは、あほバカで
お前はあほバカではない
救い様の無いあほバカだ
何故なら自分がどんだけあほバカかの自覚が無いし、人の助言に聞く耳持たない頑固者だからだ

>>541
＞それなら、Qも閉集合ではないだろ

お前はどこまでバカなんだ？今まで一体なにを読んでいたのだ？

もし Q 自体が閉集合なら、F_1＝Q, F_i＝φ (i≧2) と置けば終わる話。
しかし、実際には、Q 自体は閉集合ではない。そこはその通り。

ではどうするか？

F_i の作り方を工夫すればいいのである。具体的には、Q の元を適当に番号づけて、
各 q∈Q に対して F_i＝{q} と置けばいいのである。Q は可算無限集合なので、
このように設定した F_i の個数も可算無限個に収まり、しかも

Q＝∪_i F_i,　各 F_i は内点を持たない閉集合

と表せるのだから、例の定理が適用できる形になっているだろうが。
L の場合にこの芸当が不可能なのは、

・ L 自体は閉集合ではないので、F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) という置き方は不可能。
・ F_i の作り方を工夫して、F_i＝{q} (q∈L) と置くことにすると、今度は L が
　非可算無限集合であるがゆえに、F_i が可算無限個に収まらず、この置き方でも失敗する。

という理由があるからだよ。

結局お前は、F_i を「どのように上手く取ればいいのか」を全然 意識してないから、
そういうトンチンカンな間違いに陥るんだよ。

＞例の時枝に、終止符を打っていただいて（＾＾
見え透いた自演はやめろ
見てるこっちが恥ずかしくなる

>>542 >>544

どちらのレスでも良いけど・・

話を、区間[0,1]に取って
Q' = ｛q | 0<q<1 q∈Q} なる集合Q'を考える

Q' は閉集合ではないですか？
もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]−Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから

どうでしょうか

>>546
そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。

R の通常の位相をθと書く。A⊂R に対して、θから定まるA上の相対位相を θ|_A と書く。
・・・という記法のもとで回答すると、

・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・ 例の定理は、位相空間を (R, θ) に固定して記述している定理なので、
　 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) を持ち出したところで意味が無い。

・ そもそも、そのレスが何を意図しているのか全く意味不明。

・ スレ主はわざと無視しているのだろうが、そもそもの話として、>>540 で書いたことにより、
　スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが既に確定している。

>>547

Q全体では、開集合だと言われましたね？

部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？

距離の取り方は、同じでしょ？

>>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？

意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。

ついでなので、先に回答しておく。

＞部分集合である区間(0,1)の有理数が、なぜ開集合にも閉集合にもなっていないのですか？

・ その Q' は、位相空間 (R,θ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・ その Q' は、位相空間 ( [0,1], θ|_{[0,1]} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

・ その Q' は、位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

なぜ「ならない」のかを、( (0,1), θ|_{(0,1)} ) の場合に説明する。

[続く]

[続き]

Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合だとすると、(R,θ)の開集合 V が存在して、

Q'＝(0,1)∩V

が成り立つことになる(相対位相の定義)。(0,1)∩V は (R,θ) における開集合なので、
Q'＝(0,1)∩V の左辺である Q' も、(R,θ) における開集合ということになるが、これは明らかに矛盾する。

次に、Q' が ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において閉集合だとすると、(R,θ)の閉集合 K が存在して、

Q'＝(0,1)∩K

が成り立つことになる(相対位相の定義)。ここで、x＝1/√2 と置き、x_n → x を満たす
(0,1) 内の有理数列 x_n を何でもいいから1つ取る。このとき、x_n∈Q' であるから、
x_n∈(0,1)∩K すなわち x_n∈K となる。x_n→x だったから、K が(R,θ)の閉集合だったことから
x∈K となる。また、明らかに x∈(0,1) である。よって、x∈(0,1)∩K となるので、
x∈Q' となる。しかし、x は無理数なので矛盾する。

以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

＞意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
＞どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。
スレ主はリアル呆け老人

>>549-550
>以上より、Q' は位相空間 ( (0,1), θ|_{(0,1)} ) において開集合にも閉集合にもなってない。

了解。下記（yahoo）だね
R中に稠密に分散されている場合は、「開集合にも閉集合にもならない」ってことだね
あなたは力があるね〜（＾＾

連続濃度まで許すということだったが（>>522）、
結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾

ところで・・・・
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13160534703
(抜粋)
delyunoaloveさん2016/6/1600:35:49
有理数空間Ｑは開かつ閉集合ですか？

ベストアンサーに選ばれた回答
kousaku2038さん 2016/6/1612:21:16
全体が実数Rなら、有理数Qは開でも閉でもない。
普通に考えて開集合でないことは、qを有理数とし、それを含む開区間(q-ε,q+ε)を考えると、この区間には無理数が存在するので、Qに含まれることはない。
閉集合でないことは、√2に収束する有理数列が取れることから、すぐにわかる。
(引用終り)

つづく

>>552 つづき

(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
・・・「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」・・・”

で、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」とは、なんだろうかと考えていた・・、連続濃度まで許すということにもからんで

１）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密で無ければ・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は自明
２）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」で、Rで稠密であれば・・、「f はある区間(a, b) 上でリプシッツ連続」は取れない（このケースは不存在）

だから、定理1.7 (422 に書いた定理)の証明では、１）の場合の証明は、全く不要で
２）の場合を厚く書いて、何か矛盾が起きることをしっかり証明すべきだったのでは？
（例えば、そういう函数が存在しないか、あるいは、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとか）

重ねて言えば、２）の場合について、「定理1.7に抵触するので、不成立」では、循環論法ではないだろうか？
（例えば、証明中で、無造作に区間（y,x）を取ったり、いろんな計算をしているが、R−Bf が”Rで稠密”という条件下では、許されない計算をしていないかどうか・・？）

つづく

>>546
> Q' は閉集合ではないですか？
> もし、Q' が開集合なら、その補集合 [0,1]−Q' （これは区間[0,1]内の無理数の集合と0と1から成る）が閉集合になりますから
もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
閉でなくても開とは限りませんし開でなくても閉とは言えませんよ
(0,1]のような単純な例Qのような稠密な例いろいろです

>>552
＞結局は、稠密にR中に分散されている場合は、
＞「内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆」は、”孤立する１点から成る集合”（>>490）の被覆に戻るわけだ！（＾＾

ぜんぜん戻らない。

例えば、全ての有理数に適当に番号をつけて q_1, q_2, q_3, … と表しておく。また、カントール集合を C としておく。
F_i：＝ C ＋ q_i (i≧1)　と置く。ただし、C ＋ q_i は、C を q_i だけ平行移動した集合を表すものとする。
このとき、各 F_i は非可算無限集合である。また、各 F_i は内点を持たない閉集合である。ここで、
A＝∪_i F_i　と置くと、この A は R の中に稠密に分布することが分かる。さらに、

「 A ⊂ ∪_i F_i ,　各 F_i は内点を持たない閉集合 」

という状況が(明らかに)成り立っている。従って、

(1)「 A は R の中に稠密に分布し、なおかつ、A は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる」

という状況が成り立っている。すると、スレ主の主張によれば、この A は「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で
被覆できることになるが、実際にはそれは不可能である。なぜなら、もしそれが可能だったとすると、
別の可算無限個の F ' _i が存在して、

・ 各 F ' _i は一元集合である
・ A ⊂ ∪_i F ' _i が成り立つ

という状況が成り立つことになるが、∪_i F ' _i は高々可算無限集合であり、一方で A は非可算無限集合であるから、
A ⊂ ∪_i F ' _i という包含は矛盾している。よって、この A の場合は、(1)が成り立っているにも関わらず、
A を「孤立する１点から成る集合」の可算無限和で被覆することは不可能である。

>>553
そもそも濃度とは関係ない定義なのですよ
ただし可算なら条件の成立は自明というだけのことです
あと
楽に証明できればそれに越したことはないので
自明の場合をことさらに分別する必要はありません

＞もしかしたら開でなければ閉と誤解してるかもしれませんが
それがわかってないってもう壊滅的レベルだな

おいスレ主、きちんとレスをしろよ
他人の発言をでっちあげたのかオマエ？



549 １３２人目の素数さん sage 2017/12/25(月) 21:34:18.06 ID:U1NU7yFp
>>548
＞Q全体では、開集合だと言われましたね？

意味不明。俺は一度もそんなトンチンカンな発言をした記憶は無い。
どのレスのことを指しているのか、具体的なレス番とともに指摘せよ。

>>555
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう

開でなければ閉と誤解してましたね（＾＾
これ>>552ですね

>>557
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
レスありがとう

ちょっと質問して良いですか？

（>>303より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
よって、 f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”

１．ここで場合分けをする
　１）補集合R−Bfが、R中で稠密で無い場合：この場合は、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる（べき）。そして、条件Bfが成り立つならば、リプシッツ連続である
　２）補集合R−Bfが、R中で稠密である場合：この場合は、どこにもBfを満たす区間(a, b)は、取れない。
　３）上記場合分けにおいて１）２）とも、ほぼ自明。１）２）とも、証明の必要がない。だから、定理1.7は、証明の必要がない自明なことしか言っていない

つづく

>>561 つづき

２．で、「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）
　（その証明（>>513）より）
「定理1.7 のBf について,
　略
　(1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である.
　略
　f は(a, b) の上で連続である (2)
　略
　(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」

　この証明中で、そもそも、有理数の点 x ∈ Qは、Rで稠密であるから、”f は(a, b) の上で連続である”の不成立は、当然（リプシッツ連続も含め）（∵稠密な有理点で不連続ゆえ）
　なので、定理1.7による必要もなく、もともとこれ（”連続である(a, b)が取れない”）は自明。

　そして、この背理法による論法もおかしい。
　例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
　この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）

３．で、要は、定理1.7と系1.8とにおいて、”dense（稠密）”という意識が、あまりに希薄になってしまっているように思うのですが・・？

如何ですかね？

以上

>>562
もともと

もともと取れないからこそ背理法が効くわけです
可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続→矛盾→可算集合の補集合で微分可能ではない
という流れですよ
ある開区間で連続以降の論証に持ち込むのに

可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続

の論証が最も重要です

>>562
> 　例えば、>>554に示したように、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり”（>>506）で、
> 　この背理法の論法が正しいならば、「微分可能なある区間(a, b)が取れないから（取れるとすると矛盾するから）、このような関数は存在しない」という結論が、導かれてしまう（本来有理点は稠密であるから、この背理法の論法自身がおかしい）
その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されるということしか言えませんよ

許されるは変でした
許されないとは言えない
ですか

>>564
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
早速のレスありがとう（＾＾

>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続

ここを詳しく書くと
A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾

というわけですね

だが、命題「B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続だが）かつ稠密であっても））ある開区間で連続」で、

キモは、”例え補集合が不連続であり（定理1.7 ではリプシッツ不連続）かつ稠密であっても”ってところが、証明できちんと言えているかどうかですよね

そういう目で、証明を見て行かないと、すら〜と流してしまうと、ギャップがあっても見えない

「ぷふ」さんの目で見て、そこはどうなんですかね？

>>565-566
>その関数は連続関数なのでは？それに微分可能な区間が取れないということからはそのような関数の存在も許されないとは言えないということしか言えませんよ

いや、もちろん連続関数です。

”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
　↓
では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？

例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？

（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ）

>>568
（なんで、だれもいままで気づかなかった？ 本当に”構成不能”が成り立っている？ 新定理？ どう思いますか？ ）

おーい！！
スレ主が迷走してるぞ。誰か黄色い救急車を呼んでやってくれ！！

英語で数学ど突き漫才

>>567
>>可算集合の補集合で微分可能→ある開区間で連続
>
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
Qで不連続は不要です
（ある条件）とは？

>>568
>”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成可能”
>　↓
>では、”無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみリプシッツ不連続（あるいはディニ微分不可）の函数は構成可能”か？
>
>例の定理1.7は、これを”構成不能”と証明したということですか？
無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ところでリプシッツ不連続とは？

スレ主は知恵遅れ
但し悪知恵だけは人並み以上に発達している

>>571
黄金の救急車ですか？（＾＾
ご苦労さまです（＾＾

>Qで不連続は不要です

同意です
なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ

>（ある条件）とは？

系1.8の証明のキーになる定理で
>>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より
”f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”
が条件です。

なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。

（なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです）

>>572

>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます

ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています

>ところでリプシッツ不連続とは？

上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }

に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました

Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です

>>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています

>>575
>上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
>
>に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
つまり
xにおいて``リプシッツ不連続''とは
limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞
ということですか
ならば
無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ