(>>50の続き)
[第３段]：正の実数εと実数 f(a) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点aとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。無理数 c_1∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (a,f(a)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(a,f(a)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(a,f(a)) は孤立点ではない。
従って、A＝d/2 となって |f(a)−f(b)|≧ε＞d＝2A となることに着目し、三角不等式に注意すると、
任意に、すべての正整数nについて条件 |c_1−x_{1,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_1 に対して x_{1, m'_1}＝a であり、
すべての n≠m'_1 なる正整数nに対して x_{1,n}≠b となるようなIの点列 { x_{1,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{1,n} }、及び或る非負実数 μ_1 がそれぞれ定まって、{ ε_{1,n} } は μ_1 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_1≦|f(c_1)−f(x_{1,n})|＜ε_{1,n}＜A となる。
同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、x-座標が有理点bとなる
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。無理数 c_2∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。
任意の正の実数εに対して、連結距離空間 R^2 から誘導された位相について、連結距離空間 R^2 の点 (b,f(b)) の R^2 の
ε-近傍 U_ε(b,f(b)) 上にx-座標が有理数なる R^2 の点は稠密に存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
従って同様に、任意に、すべての正整数nについて条件 |c_2−x_{2,n}|＜M を満たし、かつ或る正整数 m'_2 に対して x_{2, m'_2}＝b であり、
すべての n≠m'_2 なる正整数nに対して x_{2,n}≠a となるようなIの点列 { x_{2,n} } が取れる。
そして、正の単調減少列 { ε_{2,n} }、及び或る非負実数 μ_2 がそれぞれ定まって、{ ε_{2,n} } は μ_2 に収束し、
このとき任意の正整数nに対して μ_2≦|f(c_2)−f(x_{2,n})|＜ε_{2,n}＜A となる。