前者
S1〜S10がどれも10の倍数でなければ鳩ノ巣原理よりいずれかのs,tでSi≡Sj (mod 10) となる。
この時Σ[k=i+1,j]akは10の倍数。
後者
選んだAの空でない部分集合の和の取りうる値の範囲は1〜945であるが、空でない部分集合は1023個あるので、鳩ノ巣原理より、いずれかの相異なるB1, B2において Sum(B1)=Sum(B2)となる。
A1=B1＼B2, A2=B2＼B1 が条件を満たす。

‥‥ちっとも大学レベルに思えないけど。
数オリ的な難しさはあるけどそれじゃない感しかない。