>>402
選択公理がない状況では、「|X|=|Y|⇔全単射X→Yが存在」を満たす割り当てX→|X|として濃度を定めるのが普通だと思います
このような濃度の構成は少し工夫が必要です

「駄目なんでしょうか」という質問でしたが、そもそも、何を濃度と呼ぶべきかといった話は数学的にはそれほど重要ではないと考えます
大事なのは、選択公理がない状況では「単射による比較」と「全射による比較」を区別しなければならないという点であり、どちらを濃度の比較に使うべきかという点ではありません
もちろん、この他にも濃度に関する性質の違いはたくさんあります