関数解析の問題で質問です。

ある空間X, 測度μ において
内積: (f, g) := ∫_X f(x) g(x)^* dμ
ノルム: ||f|| := (f, f)^{1/2}
L2: ノルム有限な関数で構成されている(ヒルベルト)空間
とします。

定理： fn ∈ L2, n ∈ N, かつ lim[n→∞] || fn −f || = 0 ならば，
適当な部分列をとって lim[k→∞] f_{nk}(x) = f(x) a.e.-x (※ほとんど全て [alomost everywhare] のxに対して) とできる。
即ち L2 収束していれば，概収束する部分列が取れる。

この定理の証明は別にいいです。知りたいのは
　 L2 収束していて，概収束しない関数列 ( ≠ 部分列 )
そんなのはあるでしょうか？ 何か例があれば教えてください。