PDF「パラコンパクト性をめぐって」（2018 年 3 月 28 日修正）
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2018/03/paracompactness-2ndrevd.pdf

質問があります。15ページの定理4.9(1)⇒(2)の証明で
　　　\mathcal V は局所有限なので、f=Σf_λ:X→[0,∞)が定義され、連続である。
とありますが、連続であることの証明が分かりません。
Σf_λは各xに応じて実質的には有限和となることは\mathcal Vの局所有限性から確かに分かります。
しかし、その有限和は各xに応じて変化するわけでありますから、点aについての連続性を確認するためにaに十分近いxを取って|f(x)-f(a)|を考えようにも、f(x)を求める際の有限和の取り方はf(a)を求める際の有限和の取り方と異なります。
これ点が引っかかって連続性の証明が分かりません。
解説して頂けますでしょうか？