線形空間で次元を定義する前段階で

「m個のベクトルが線型独立、n個のベクトルが空間を張る時、m<=n」

という定理があるけど、これの証明って線型独立なベクトルと空間を張るベクトルを1個ずつ入れ替えていって
背理法で証明するやつしかないの？他の証明を知ってる人いたら教えて