例えば:
2直線l,mの交点をPとし、各々の方向ベクトルをa,bとする。Pを通る任意の直線l'に対し、l,mは一点で交わるのでa,bは一次独立。l'の方向ベクトルcに対しある実数s,tが存在しc=sa+tbと表せる。このs,tに対しsl+tmで表せる直線を考えればこれはl'と一致している。

初等的とは、高校レベルです
Hilbertの零点定理などはやめてください。

背景としては、2直線の交点を通る任意の直線は2直線の(陰関数表示の)実数倍の和で表せる、みたいなことを使った問題を見ました。(つまり逆を使ってる)これって初等的に簡単に示せるのか？というものです

方向ベクトル使うのは良さそうですが、さすがにこれだけだと方向ベクトルの線型結合であって多項式の線型結合ではないけど続ければいけるかな。