>>134>>135
解答です。
ネットで見つけた素晴らしいNoteに依ります。
---- 解答例 ----
以下では初期配置における玉の総数が偶数である場合を考える。
奇数の場合はE(X[2n])とE(X[2n-1])の結論が逆となるだけである。
自然数 j で玉が j 個ある状態を表すとする。系を HMC([1]、p3) と考える。
まず不変分布 π[n] ([1]、p11)を求める。
π[n] = aπ[n-1]/(n-1+0) + (n+1-a)π[n+1]/(n+1+0)
である。ただしp/(q+0) = lim[ε→0]p/(q+ε)である。
f(x) = Σπ[n]x^n、g(x) = Σπ[n]/(n+0)x^nとおけば
　(x−1)g′(x)=a x−x g(x)
となり、これを解いてg(x) = Ax^ae^(ax) を得る。よって
　f(x) = xg′(x) = Aa(x + 1)x^ae^(ax) である。
ここで f(1) = 1 により
　f(x) = (x+1)x^ae^(ax) / (2e^a)
を得る。以上によりこの HMC は π[n] = f (1) < ∞ を満たす不変分布を持つから、正再帰的 HMC ([1]、p13)である。
また p_{aa}^(2) > 0、奇数 n に対して p_{aa}^(n) = 0 で あるから周期は 2 である。([1]、p5)
以上により初期の玉の総数が偶数であることから
　lim[n→∞]E(X[2n])
　= f′(1) + f′(−1)
　= 1 {e^a +2a+2a+(−1)^ae^(−a)}/(2e^a)
　= 2a + 1/2 + (−1)^a/(2e^a)
　lim[n→∞]E(X[2n-1])
　= f′(1) - f′(−1)
　= 1 {e^a +2a+2a-(−1)^ae^(−a)}/(2e^a)
　= 2a + 1/2 - (−1)^a/(2e^a)
である。([1]、p19)
ref.
[1] マルコフ連鎖、https://www.komazawa-u.ac.jp/~toshi/teaching/TIT/note1.pdf
[2] a=10、玉の総数が100の場合、>>182、
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どうも東大の講師の方の講義のレジュメのようです。
収束証明とか感動的です。
カップリングとか言われたらわかるけど、こんなん絶対思いつかん。