>>618
f：G→Gをf(x)＝x^{-1}φ(x)∈Gと定義する。
まず、fは単射であることを示す。f(x)＝f(y)ならば、
x^{-1}φ(x)＝y^{-1}φ(y)だから、式変形していけば

x^{-1}φ(x)＝y^{-1}φ(y)
yx^{-1}φ(x)＝φ(y)
yx^{-1}＝φ(y)φ(x)^{-1}
yx^{-1}＝φ(yx^{-1})

仮定により、yx^{-1}＝eでなければならない。よって、y＝xとなるので、fは単射である。
Gは有限集合だから、fは全射である。次に、φ(f(x))＝f(x)^{-1} (∀x∈G)を示す。

f(x)φ(f(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))＝x^{-1}φ(x)φ(x)^{-1}x＝e

よって、φ(f(x))＝f(x)^{-1} (∀x∈G)である。fは全射だから、
φ(y)＝y^{-1} (∀y∈G)が成り立つ。よって、x,y∈Gに対して、
φ(xy)＝φ(x)φ(y)＝x^{-1}y^{-1},
φ(xy)＝(xy)^{-1}＝y^{-1}x^{-1}
となるので、x^{-1}y^{-1}＝y^{-1}x^{-1}である。両辺の ^{-1} を取って
yx＝xyとなる。よって、Gは可換である。