>>597
自分は>>665に同意。もしきれいな式があったら、興味を持つが。
以下、PCでの探索まとめ。

回転・反転を区別、色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
k=8: 3255630
k=9: 41515401

回転・反転を同一視、色を区別
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 4
k=4: 42
k=5: 335
k=6: 3501
k=6: 36820
k=8: 407629
k=9: 4612825

回転・反転・色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 2
k=4: 13
k=5: 67
k=6: 651
k=7: 6258
k=8: 68747
k=9: 770248