>>751
(p,q) := 2/π∫ pq dx とする。
これは双線形であり、{cos nx} は (cos lx, cos mx) = δ(l,m) となる。
Nを自然数とし
a[n] = (cos nx, f)、g = Σ[m:1〜N] a[m] cos mx、h = f-g とおく。
n: 1〜N に対し
(h, cos nx) = (f-g, cos nx) = (f, cos nx) - (Σ[m:1〜N] a[m] cos mx, cos nx) = a[n] - a[n] = 0
であるから (h,g) = 0 である。
よって
(f, f) = (g+h, g+h) = (g, g) + 2(g, h) + (h, h) = (g, g) + (h, h) ≧ (g, g) = (Σ[l:1〜N] a[l] cos lx, Σ[m:1〜N] a[m] cos mx) = Σ[m:1〜N] a[m]^2
である。
これが任意のNで成立するから
Σ[m:1〜∞] a[m]^2
は収束するので lim(n→∞)a[n]=0 である。