望月氏のIUT理論の初等的な部分の着想は2000年代始め頃にはあったという。
当時は何人かの数学者によってABC予想をアーベル多様体の上にのっけるとか楕円曲線にのっけるとか色々と考えられていた。
VojtaやFaltingsもこれに手を出していた。
この場合のABC予想はMasser-Oesterle’版といわれる形のものである。
つまり、互いに素な整数a,b,cでa＋b＋c＝0なら任意実数εに対しあるK(ε)>0が存在しmax{|a|,|b|,|c|}≦K(ε)(abcを割り切る素数すべての積)^(1＋ε)が成り立つ、というもの。
これのlogをとると、log max{|a|,|b|,|c|}≦log K(ε)＋(1＋ε)(abcを割り切る素数のlogのすべての和)となり、積Πから和Σへのシフトがおきる。
ここで左辺は楕円曲線の高さである。
なぜなら、楕円曲線の有理数解の集合を考えることは比(a/c,b/c,1)を考えることと同等だからだ。
望月氏は簡便のために、特にy^2＝x(x-a)(x-λ)という楕円曲線を考えて、これから{0,1,∞}の3点を除いて1次元の射影平面と同一視して適宜その間を移動して議論している。