右辺に関してはネヴァリンナ理論やディオファントス近似の視点から整数上の線形形式を割る素数ｐのlogにord_p(与えられた既約分数のpの冪を返す関数)など数論でよく使われる関数をかけたもので上界をつくるという方法が考えられていた。
ただし望月氏はこれをinitial-Θ-dataだけから展開することを考えていた。
initial-Θ-dataは体F上のl分点楕円曲線EとF上の付値などからだけで決定される。
そして楕円曲線上のQ点とその拡大体F点の集合X(Q)⊇X(F)などを考えるとx∈X(Q)を含む最小のX(F)を考えることでFが点xから一意に決まる。
そしてこの体Fからdifferent idealとconductorに関連して体が一意にきまる。
つまりこの体たちの上の付値からつくったカルティエ因子のdegを拡大次数で割った実数をはく関数X(Q)→Rが定義される。
different idealとconductorで決まる定義域から決まる関数の和が、高さを抑え込むという論法だった。
実際はアルキメデスか非アルキメデス、楕円曲線の良い還元や悪い還元での場合わけなどがある。
以上の議論を望月氏はF_modとKの中間体ごとに複数の世界に分け、さらにl以下の分点で議論を分け別々に計算を行っている。
そして、それらの重み平均（ガウス積分で着想を得た）を取って更に総和をかけるという手法を用いている。
このときのコンバインする際に必要な添え字などがIU幾何を必要としている。