ペアノの公理は、現代数学大系の中では、ZFC公理系の中に包含されているので
正確には、公理と呼ぶのは間違いだが、歴史的にそういう名称で呼ばれている
（詳しくは、下記 ”Rei Frontier Tech Blog ZFC公理系について：その2”）

で、我々は、すでにZFCの中で、自然数を構成して、それを使っているということを忘れている人がいる
それ、単に後者が存在するというだけのことですよね
それは、任意の自然数ｍを取ったときも同じことが言える

で、さらに言えば、無限集合としての自然数Nは、公理系としては、ペアノの公理だけでは達成できない
無限公理が、無限集合の存在には必要だ
それについては、下記などを読めば、どこにでも書いてある

「ペアノの公理で、有限と無限を区別できる」と、錯覚している人がいるようだね

http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042
Rei Frontier Tech Blog
ZFC公理系について：その1 20171102
(抜粋)
今回皆様にお話するのは、現代数学の土台であり、我々が普段接する数学的対象をつくる素材を提供してくれる、ZFC公理系にまつわるお話です。
・はじめに
・命題と論理式
・外延性公理と集合
・非順序対と合併
・無限公理と無限系譜
・分出公理と共通部分
(引用終り)

http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/09/100000
同
ZFC公理系について：その2 20171109
(抜粋)
本記事の目的は、自然数全体の集合Nを定義し、その性質（の一部）を述べることです。
・べき集合の公理、自然数の全体
・ペアノの公理
(引用終り)

http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/16/100000
同
ZFC公理系について：その3 20171116
(抜粋)
前前回、前回につづいて、ZFC公理系の残りの公理を紹介していきます。
・写像と選択公理
　・順序対、直積
　・写像、一般の直積、選択公理
・順序数、ZFC公理系
　・順序関係と順序数
　・正則性公理
　・置換公理
・参考文献
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ZF 公理系
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory （ZFC）