>>290 補足
(引用開始)
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立， と定義されるから，
(2)の扱いだ.
素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
(引用終り)

”任意の”は、基礎論的には、全称記号∀です
英語では、"any" ですが、"for all"（全て）でもあります

「素朴に，無限族を直接扱えないのか? 」とおかしな記述
集合で考えましょう
可算無限集合Aで、その集合の元に対し
∀a∈A→aは整数
が言えれば、A ⊂Z（整数の集合）
で、Aは整数の集合（Zの部分集合）
が言える。

現代数学では、可算無限集合だからと言って、大騒ぎの必要もない
確率変数の（可算）無限族とて同じこと。無限族を、一つの集合として見れば良い
そうすると、無限族の要素について、語るのは通常のことにすぎない

確率変数の独立の定義が、X1とX2と、二つの組み合わせから始まって
ｎ個の組み合わせに至り、ｎ→∞を考えるのもまた、自然な流れ

ここで、”ｎ→∞”という曖昧さの残る表現を避けて、全称記号∀を用い
”∀有限部分族が独立”とするのも、全く自然な現代数学の表記にすぎない

これについて、上記の(1)と(2)を分けること自身が、間違い

ZFCの集合論上で、数学を論じる以上、
集合としての（可算）無限族について、何かを語るためには、
その集合の要素について、語るしかないのだから

なお、無限の対象について
”任意の有限部分族がXXのとき，XX，”という言い回しは、現代数学では結構普通で
コンパクト性定理（下記ご参照）でも、この表現が使われている

https://ja.wikipedia.org/wiki/全称記号
全称記号
(抜粋)
全称記号（universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である。
通常「∀」と表記され、全称量化子、全称限量子、全称限定子、普遍量化子、普通限定子などとも呼ばれる。

つづく