>>303 関連

無限集合ついでに、
∀ｎ∈Nについて語られて命題は、自然数N全体を尽くすということですね

ペアノの公理との関連で言えば、任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
それは自然数N全体に及ぶということ

現代数学のZFC公理系では、無限公理を含むため、
任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
無限公理によって、そのような対象は、可算無限集合になる
各ｎは有限なれど、それは可算無限集合を形成し、自然数Nを尽くす
詳しくは、下記をご参照

なので、反例の構成は失敗していません（>>46）
前スレ57 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546308968/647
の反例 数列の長さｍの有限モデル も∀ｍ∈Nについて語っているので、同じことですよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
1.自然数 0 が存在する。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
03. はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4.異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系
・無限公理　空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理