つまり、写像 f：R^N/〜 → R^N の決め方には自由度があり、たくさんの f が存在する

そのようなたくさんの f の中から1つ f：R^N/〜 → R^N を取り出して固定するのは
選択公理の役割ではない(選択公理は、f が少なくとも1つ存在するという存在性を保証しているだけ)。
よって、選択公理でない他の誰かが f を1つ固定しなければならない

では誰が固定するかといえば、それはプレイヤーかディーラーしかいない。
プレイヤーでもディーラーでもない第三者に任せることも可能だが、
プレイヤーにとっては第三者もディーラーも同じなので、
「プレイヤーかディーラー」としても本質は失われない