>>111

つづき

http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040322-1
2004年3月22日(月) 整列順序

集合 X に順序関係 < が定義されていて、X の任意の部分集合が導入され た順序に関して最小元を持つとき X を整列順序集合と呼ぶのでありました。 次の条件を満たす 整列集合 X の真部分集合 Y を「始片(initial segment)」 と呼びます。

任意の a∈Y に対し x<a なる x∈X は Y に属する
始片は次の条件で特徴付けられます。
整列集合 X に対し Y⊂X が始片である必要十分条件は a∈X が存在し て Y={x∈X|x<a}
最初の条件から二番目の条件が成立するのは明らかです。また Y が最初の条 件を満たすとき X-Y の最小元を a とすると、二番目の条件を満たすことが容 易に証明出来ます。そこで次の記号を導入します。
整列集合 X の要素 a∈X に対し {x∈X|x<a} を X[a] と記述し、 X の a による始片と呼ぶ
X の要素と X の始片に一対一の対応があることは明白です。始片の概念を使 用すると、整列集合間の整列的な性質を記述することが可能です。
[補題]

f: X → X を整列順序集合 X から X への増加写像とするとき、任意の x∈X に対し x f(x)
x0 を f(x)<x を成立させる X の最小元とすると f の増加性 によりf(f(x0)) < f(x0) < x0 が成 立し矛盾。

つづく