>>114

つづき

http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040328-1
2004年3月28日(日) 超限帰納法・置換公理

[定理]

P(x) を論理式とします。 任意の順序数 α,β に対して α<β のとき P(α) が成立するとき P(β) が成立すると仮定します。このとき任 意の順序数 α に対して P(α)
言い換えると次の二つの命題は同値。

(1) (∀β)([(∀α)(α<β → P(α))] → P(β))
(2) (∀α)[P(α)]

ここで全称記号は順序数全体を動くとします。

証明自体は簡単で (1) をが成立して (2) が成立しないと仮定し NOT[P(α)] が成立する順序数 α を考えます。α は整列集 合なので γ∈α を P(γ) を成立させない最小元とする と γ の最小性により δ<γ に対して P(δ) が成 立し (1) の仮定により P(γ) が成立して矛盾。
実際には超限帰納法は次の定式化が多用されます。

(i) P(0) が成立
(ii) P(α) が成立するとき P(α+1) も成立する
(iii) α が 0 でない極限数で β<α に対して P(β) が成立するとき P(α) が成立する
このときすべての α に対して P(α) が成立する

残念ながらこの定理も今の段階では余り役に立ちません。つまり ここで述べたように 現在手持ちの順序数が非常に「少ない」からです。例えば ω + ω さえもまだ定義することができません。膨大な順序数を「構成」するには次に 述べる置換公理が必要なのです。

つづく