>>115

つづき

[公理 8. 置換公理]

P(x,y) を二項論理式として関数的な性質をもつとします。即ち、
P(x,y),P(x,y') が成立するとき常に y=y' が成立する。

この場合任意の集合 X に対して

ある x∈X が存在して P(x,y) が成立する y 全体を含む集合が存在する

言い換えると「関数的な論理式」の集合による「像(range)」全体を含 む集合が存在するという公理であり、この集合を Y とするとき f:X → Y は写像となります。ここで f は P(x,y) を X x Y の部分集合に外延化した写 像です。
ここで非公式ですが、例えば P(x,y) を

x∈ω のとき y は ω+x
x がその他の場合 φ
と定義し、置換公理により ω に対して存在が許される集合を Y とする と f:ω → Y は f(n)=ω+n なる写像となり ran(f) = f[ω] = {ω+n| n∈ω} も集合となることが分かります。 従って ω∪ran(f) = ω + ω を構成することが可能とな るのです。
次回以降は超限帰納法と置換公理を利用して「整列集合の順序数による表現」 「超限帰納法による関数関係の定義」「順序数の演算の定義」を行う予定です。

つづく