>>134 補足

「数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba」
補題 23 証明 「基礎の公理を用いると，
Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）」
”この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ．
”
ここで、「 ∈ に関して極小な元が存在する」にご注目（＾＾

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坪井明人ロジックの部屋 University of Tsukuba
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学部（数学類）関連
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数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba
(抜粋)
Ｐ13
1.3 順序数

順序数を表すために，α, β, . . . を用意する．この記法のもとに，例えば
∃αφ(α) は，論理式 ∃x(Ord(x) ∧ φ(x)) の省略形と考える．
補題 23. ∃αφ(α) → ∃β(φ(β) ∧ ∀y ∈ β¬φ(y))
が成立する．
証明. φ(α) を仮定する．集合 A = {x ∈ α : φ(x)} に基礎の公理を用いると，
Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）．
β ∈ αをそのような極小元とする．
β が求める元であることを示す．極小性から任意
の y ∈ β は A に属さない．
y ∈ α は推移性から成立しているので，このことは
¬φ(y) を意味する．
上の補題は，与えられた（妥当な）条件に対して，それを満たす極小の順序
数が存在することを意味している．φ(α) は α 以外の自由変数を持っていてもよい．

注意 24. 補題 23 の対偶を考えると，（ψ = ¬φ として）次の論理式が成り立つ
のが分かる：
∀β(∀y ∈ βψ(y) → ψ(β))→ ∀αψ(α).
この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ．

(引用終り)