>>149

つづき

４）
”As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1.
Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion.
The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle.”
これ、普通の自然数に対する数学的帰納法な

５）
”The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations:
for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈).”
和訳
「モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。
つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。」
とある。なので、(X, R) → (C, ∈) なので、”∈を使った順序”というのは、結構普遍的（universal）

６）
Reflexivity
"For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. "
ここで、「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例を挙げているけど、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>だよと定義するのが、正則性公理の意味の別の側面だろう

つづく