>>174

正則性公理に、「もやもや感」がある人のご参考（＾＾
http://www.cs-study.com/koga/set/setRegularity.html
集合論：正則性 (Regularity) 24th Jan. 2018 (Updated) Akihiko Koga
(抜粋)
Axiom of Regularity
∀ A (A ≠ Φ => ∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ))
(空でない集合は自分自身とまじわりの無い要素を１つは持つ)
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/SetRegularity00.jpg

本当は，
１．A ∈ A となるような集合 A (つまり，A = { ..., A, ...} ) は存在しない とか
２．A ∋ A1 ∋ A2 ∋ A3 ... という無限列は存在しない
などと言いたいのに，上のように持って回った言い方をする．

正則性公理についてはなんとなく 「もやもや感」が付きまとって嫌な気分になるので，ここでは，正則性公理と上で書いたような性質との間の含意関係などを図をつかって証明して，少しでも「もやもや感」 をなくすことにしたい．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/RegularityAxiom01.png

[もやもや感」の解消
(このページの内容は 英語版の Wikipedia の Axiom of Regularity の項目 を参考にした．と言うか殆ど絵を入れただけのような気もする)

１．正則性 => A ∋ A1 ∋ A2 ∋ A3 ... という無限列は存在しない
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/RegularityProperty01.png

２．正則性 => A ∈ A となるような集合 A (つまり，A = { ..., A, ...})は存在しない
A を A ∈ A となる集合とする． 次の図（と言って良いかどうか）のように B := {A} とおけば，この B が正則性に反する．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/RegularityProperty02.png

３．A1 ∋ A2 ∋ A3 ... という無限列は存在しない & 選択公理 => 正則性
対偶をとり，選択公理が成り立つとの仮定の下に，正則性を満たさない集合があったとき，正則性を満たさない集合があったとき，A1 ∋ A2 ∋ A3 ...という無限列が作れることを示します．
ここで無限回の要素の選択が必要ですから，選択公理を使う必要性があることに注意してください．
http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/RegularityProperty03.png
(引用終り)
以上