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つづき

つい最近、以下の本を読んでいたら、第３章が「集合論について」となっている。

集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。

1.関数の合成は結合的で恒等射をもつ
2.終対象が存在する
3.元のない集合が存在する
4.関数は元への効果で決定される
5.集合ＡとＢについて、積Ａ×Ｂが構成できる
6.集合ＡとＢについて、ＡからＢへの関数の集合を構成できる
7.ｆ:Ａ→Ｂとｂ∈Ｂについて、逆像ｆ^?１｛ｂ｝を構成できる
8.Ａの部分集合は、Ａから｛０、１｝への関数と対応する
9.自然数たちが集合をなす
10.すべての全射は切片をもつ

この非形式的な要約は、「元」や「逆像」といった用語を用いているが、それは集合、関数、合成という基本概念を使って定義できるものだ。たとえば、集合Ａの元は終集合からの射として定義される。
これらの公理は確実に都合よく、圏論の言葉で表現できる。たとえば、最初の公理は集合と関数が圏をなすといっており、１０個すべてを合わせたものは、圏論通の専門用語で「集合と関数は自然数対象と選択をもつwell-pointedトポスになる」と表現される。
しかし公理を述べるためには、いかなる圏論の再燃にも訴える必要はなく、集合と関数の言葉で表現できる。詳細は Lawvere-Rosebruch(2003) あるいは Leinster(2014) を参照されたい。

つづく