>>399

つづき

正則性公理
反復的集合観に先立って次の整礎原理を述べた。

整礎原理
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。
これを次のように公理化する。

正則性公理

∀s(s≠Φ→∃x∈s(x∩s=Φ))
(反復的集合観によれば、sに含まれるどの要素もsが現れる段階よりも低い段階で現れる。sの要素の中で最も低い段階に現れるものをxとすれば、xとsが共通要素を持つことはない。もしあればそれはxよりも低い段階に現れるsの要素になりxの取り方に反するので)

正則性公理が成り立たないとすると、空集合でないある集合sについて∀x∈s(x∩s≠Φ)となるので、
x1∈s
x2∈x1∩s
x3∈x2∩s
　・
　・
　・
となり、x1∋x2∋x3∋x4∋…という系列が得られる。
ただし正則性公理を追加したからといって、x1∋x2∋x3∋x4∋…となる集合や自分自身を含む集合の存在が証明されないことを保証しているわけではない
(ある公理から何かの存在が導かれるときに非存在を主張する公理を追加しても、存在するという証明を打ち消すことはできない。単に矛盾が導かれるようになるだけ)。
元の公理系が「自分自身を含む集合はあってもいいし、なくてもいい」というものだとしたら、正則性公理の追加によって自分自身を含む集合の存在は排除される。でも元の公理系で自分自身を含む集合の存在が導かれるとしたら、そこに正則性公理を追加しても矛盾が導かれるようになるだけ。
(引用終り)