>>401 追加

”定理 0.3. 「ZF から基礎の公理を除いた公理系」の元で
「基礎の公理 ←→ 任意の集合 x に対してある順序数 α が存在して x ∈ R(α)」である”
これ、大事だね
http://alg-d.com/math/ac/
壱大整域
選択公理
選択公理と同値な命題とその証明
http://alg-d.com/math/ac/axiom_of_choice_0_02.pdf
選択公理
同値な命題とその証明
ver.0.02

alg-d
http://alg-d.com/math/ac/
2012 年 9 月 1 日

それでは，100 個を超える選択公理と同値な命題をごゆっくりお楽しみください．

時々出てくる「基礎の公理」について述べておきます．が，「そういうものも
あるんだな」程度の認識でも OK です．私 (本書) では，基礎の公理は基本的に認める方
向です．
定義. 基礎の公理 (もしくは正則性公理．英語では Axiom of Foundation もしくは Axiom
of Regularity) とは ZF に含まれる公理の 1 つで
∀x(x ≠ Φ =→ ∃y ∈ x(x ∩ y = Φ))
を表す．
順序数 α に対して R(α) を
R(α)
=Φ (α = 0 の時)
=P(R(β)) (α = β + 1 の時)
=∪β<α R(β) (αが極限順序数の時)
と定義する．また集合 x に対して ρ(x) := min{α | x ∈ R(α + 1)} と定義し，これを x の
階数 (rank) という．
定理 0.3. 「ZF から基礎の公理を除いた公理系」の元で
「基礎の公理 ←→ 任意の集合 x に対してある順序数 α が存在して x ∈ R(α)」である