>>422 補足追加

（>>137）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人ロジックの部屋 University of Tsukuba
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
学部（数学類）関連
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba
(抜粋)
Ｐ9

1.1.10 基礎の公理（正則性公理）
x ≠ Φ →∃y (y∈x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)).
空でない集合x には∈ に関して極小となる元z ∈ x があること，を直観的には意味している．
基礎の公理は，それがなくても数学が展開できるので，ある意味で技術的な公理である．
しかし，基礎の公理を仮定した方が議論が展開しやすくなるので，通常は集合論の公理として加える．

注意8.
a ∈ a を満たす集合a は存在しない：
そのようなa があったとする．
x = {a} として，基礎の公理を適用すると，a はx の中で∈ に関する極小元な
ので，a ∈ a は成立しないはずである（矛盾）．
(引用終り)

ここ注意8.で、”∈を、等号（=）を含まない、不等号＜と考える”という視点が入っているよね
（それにここ、証明になってない
　x = {a}、 y＝a として、 a ∈ xと a ∈ y（←a ∈ a）から
　（z=aで）
　∃a(a ∈ x ∧ a ∈ y) 成立
　しかし、x ≠ Φなので、基礎の公理に矛盾する
　だろう。まあ、スペースの関係で略したと思うが）

以上