前スレでZFCが話題になったので、ご参考

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http://www.cs-study.com/koga/set/setTheory.html
集合，位相，論理など
(抜粋)
・ZFC (Zermero-Fraenkel の公理系 + 選択公理 (Axiom of Choice))
一般的に公理的集合論と言えばこちらのこと，こちらはクラスは定義されていません． Godel-Bernays より表現力は弱いのですが，記述を集合に限ると同じ定理が導出できるそうです．
一応，ZFC の公理系を図の形に整理しておきます．

http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/ZFC-Summary01.png
図のまとめ方は私が感じたまとめ方になっていますが，ZFC の公理系は５種類 の公理（群）からなっています．
まず，第1に，集合が等しいとはどういうことかを決める外延性公理，第2に特殊な形の集合の存在（つまり空集合と最低限１つの無限集合）， 第３に既存の集合から新たに集合をつくる手段の提供（ペア，和集合，関数適用，べき集合）， 第４に自分自身を含むような集合の排除（ラッセルのパラドックスなどの排除）のための 正則性公理，第５に選択公理です．

上で書いた新たに集合を作る手段の関数適用のところは，
集合への関数適用の結果は集合になる
という公理ですが，もとはここには分出公理（集合の中からある性質を持つ要素だけを取り出したものは集合）があったが，1922年に Fraenkel によって上に書いた公理に置き換えられたとのことです．

しつこいかもしれませんが，さらに ZFC の公理系の全貌を簡単にまとめた図を描いておきます．
もう一枚の図で補足しておきます．ポイントは，
考察する世界（ユニバース＝集合の集まり）を構成するのに，まず集合のタネとして 空集合と最低１つの無限集合を仮定すること
すでにある集合から新たに集合を作る手段として４つの方法を用意すること
こうしてできた集合の性質として，外延性，正則性，選択関数の存在を課すこと
です．

http://www.cs-study.com/koga/set/pictures/ZFC-Summary02.png
実は選択公理も集合を作るので，「集合の生成手段」に入れても良いかもしれません． ただ，「選択公理を仮定すれば．．．」というように，ほかのZF の公理系との結びつきは多少弱いように思うので，この図では別のところに書いています．