> pが無限大にしたときにR = 1となる。
> 整数 n はn ≡ 1 (mod 4)を満たせば よいので、解の個数は無限大になる。

途中の議論の正誤を追うまでもなく駄目ですね。
よく勘違いされますが、数列が収束するときに収束する値を取るとは限りません。
従って、ここからR=1となるpが他にあるともないとも判断はできず、もちろん矛盾はありません。

このような例としては
1/n→0 (n→∞)
が反例としてよく挙げられます。