>>82
f(x) = n! x^(x-n),　　　(n<x<n+1)
も f '(n) は存在しません････


f(x) = n!{1 + n(x-n)}　　　(n<x<n+1)
はダメですが、
f(x) = n!{1 + n(x-n)}{1 + a_n(x-n)(x-n-1)},
はどうでしょう？

a_{n-1} + a_n = n -1 +1/n,
これを解くと
a_n = (n/2) - (1/4) + Σ[k=1,n] (-1)^(n-k) /k,

a_1 = 5/4, a_2 = 1/4, a_3 = 25/12, a_4 = 7/6, a_5 = 91/30, ････