前>>453
>>143もっかい解いた。
2:3+√17
式は違うが同じ答えになった。簡単な体積比はこれでどうだろう。
正四面体の一辺を1、ABの中点をM、DAをx:1-xに分ける点をN、BNとMDの交点をOとすると、MD=√3/2だから、
MO:OD=t:√3/2-tとおけ、点Cは△MBOからも△OBDからも同じ高さにあるから、これが求める体積比のはず。
メネラウスの定理より、
(AB/BM)(MO/OD)(DN/NA)=1
{1/(1/2)}{t/(√3/2-t)}{x/(1-x)}=1
2tx={(√3/2)-t}(1-x)
4tx=(√3-2t)(1-x)
4tx=(1-x)√3+2tx-2t
2tx=(1-x)√3-2t
2t(1+x)=(1-x)√3
t=(1-x)√3/2(1+x)――①
△AMD=(1/2)(1/2)(√3/2)
題意よりT1=T2=(1/3)(1/2)(√2/2)(1/2)=√2/24
U1=U2=√2/48
すなわち△NOD=(1/2)△AMD=(1/2)(1/2)(1/2)(√3/2)=√3/16――②
一方、辺の長さと角の値から、
△NOD=(1/2)OD･DNsin30°
=(1/2)(√3/2-t)x(1/2)
=(√3-2t)x/8――③
②③より、
(√3-2t)x=√3/2
x=√3/2(√3-2t)
これを①に代入すると、
t=[1-{√3/2(√3-2t)}]√3/2{1+√3/2(√3-2t)}]
(海賊船みたいになってきたな)
2t{1+√3/2(√3-2t)}=√3{1-√3/2(√3-2t)}
2t+t√3/2(√3-2t)=√3-3/2(√3-2t)
2t(√3-2t)+t√3=3-2t√3-3/2
4t(2t-√3)-2t√3+6-4t√3-3=0
8t^2-10t√3+3=0
t={5√3-√(75-24)}/8
=(5√3-√51)/8
体積比は、
MBO-C:OBD-C=MO:OD
=t:√3/2-t
=(5√3-√51)/8:√3/2-(5√3-√51)/8
=5√3-√51:4√3-5√3+√51
=5√3-√51:√51-√3
=5-√17:√17-1
=(5-√17)(5+√17):(√17-1)(5+√17)
=8:5√17-5+17-√17
=8:12+4√17
=2:3+√17