>>270 補足の補足

１）下記有限単純群の分類で、素数位数の巡回群 Cp以外の単純有限群は、素数位数ではなく、必ず非可換であり、正規列が存在しないから、非可解である
２）下記S5の部分群で、位数30、40の部分群は存在せず、位数20の部分群は、A5の最大位数の部分群である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
有限単純群の分類
有限単純群の分類 (classification of the finite simple groups) とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。

分類定理 ― 全ての有限単純群は以下の群のいずれかと同型である:
・以下3つの無限個クラスの群:
　・素数位数の巡回群 Cp
　・次数5以上の交代群 An
　・リー型の単純群
・26の散在型単純群（英語版）
・ティッツ群（英語版） 2F4(2)′ - リー型の群や27番目の散在型単純群に分けられることもある

http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
Sn (n = 3, 4, 5) の部分群の分類
明治大学理工学部数学科
赤沼 浩之
堀部 昌裕
若杉 瞳
2009 年 2 月 25 日
S5の部分群
位数30、40の部分群は、存在しない
位数24の部分群は、S5の部分群ではあるが、A5の部分群ではない
位数20の部分群は、A5の最大位数の部分群である
注：S5は5次対称群、A5は5次交代群