>>284 訂正（全面書き直し）
（>>276のご指摘により）

>>273
>そもそもスレ主が問題のガロア群をA_pの部分群と考える理由が分からない
>言えるのはS_pの部分群というだけでしょ。（理由がなければ）

対称群Spと交代群Apとの関係は、下記の用語で言えば、Apが指数2の部分群であり、正規部分群だからです
交代群Apの中で、可解な部分群を探せば、その方が位数が小さい分簡単だし、それで十分だから
交代群Apの中で、可解な部分群が無ければ、探索範囲を対称群Spに広げても無しでしょう
（証明は考えてないけど、おもいつくであろう（ガロア語録より）（＾＾； ）

なお、交代群Apの中に可解な部分群が見つかれば、
それをGsと名付けると
Gs*C2 が、対称群Spの中の可解な部分群になります（ここにC2は位数２の巡回群で、”*”は直積を表わす）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4
部分群
(抜粋)
剰余類とラグランジュの定理

G に含まれるすべての a について aH = Ha であるとき、 H を正規部分群と言う。
指数 2 の部分群は必ず正規部分群である
（実際、部分群 H の指数が 2 であるということは、H に関する左剰余類の全体も右剰余類の全体もともに、部分群 H とその補集合で尽くされる）。
より一般に、有限群 G の位数の約数の最小の素数 p に対して、指数 p の部分群は（存在すれば）正規である。
(引用終り)
以上