>>733 補足
＞時枝の数列の定義は、加算無限個だという
＞（だから、ここで殆ど∞が導入されているのです）
＞で、∞を導入した場合と、∞を導入しない場合の二通りを考えるべきなのです

１） 対比
時枝の可算無限の箱：
X0,X1,X2,・・・・・
形式的冪級数の係数：
a0,a1,a2,・・・・・・
多項式環の元の係数：
a0,a1,a2,・・・an

２）
上記の対比を見れば、
X0,X1,X2,・・・・・
　↓↑
a0,a1,a2,・・・・・・
です

３）
つまり、
時枝の可算無限の箱
　↓↑
形式的冪級数の係数
です

４）
で、形式的冪級数の係数は、有限で終わってはいけない（有限で終われば、多項式になる）
形式的冪級数は、明らかにｎ→∞の極限を考えるべし（有限で終わってはいけない）
で、時枝の可算無限の箱も同じく、ｎ→∞の極限を考えるべし（有限で終わってはいけない）

５）
だから、時枝の可算無限の箱では
∞を導入した場合と、∞を導入しない場合の二通りを考えるべきなのです
（どちらかと言えば、∞を導入した場合の方が重要ですね（＾＾ ）

以上

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。

定義
形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ{n=0}^{∞} anX^n＝a0+a1X+a2X^2+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ? m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環（たこうしきかん、英語: polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。

注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと ?つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ