>>731 追加
>で、自然数には、二通りの演算、和と積が定義されます
>和と積で閉じた体系が、整数環です

整数環Zを考えると、和と積が定義されていますから
整数環Zを、偶数（2の倍数）と奇数（2の倍数＋１）に分けられます

1,2,・・・n,・・・
　↓↑
2,4,・・・2n,・・・

の対応が付きますから
集合として、Z←→2Z

これ、「デデキント無限：A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在する」（下記ご参照）
が成り立ちます。つまり、整数環Zが無限集合で、その真の部分集合たる偶数全体とZが同数（１対１対応）になる
整数環Zが無限集合であると認めた方が、すっきりしているのです
無限集合の存在を認めると、「全体が真部分集合と同数」という有限集合ではありえないことを認める必要が出てきます
1880年代にデデキントが環の概念を導入したときに、こういうことに気付いたと思います
（これを言いたいために、整数環Zを持ち出しています（＾＾；　）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%92%B0
整数環

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
環 (数学)
5 歴史
1880年代にデデキントが環の概念を導入し[2]、1892年にヒルベルトが「数環」(Zahlring) という用語を造って「代数的数体の理論」(Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897.) を発表した。
ハーヴェイ・コーエンによれば、ヒルベルトは "circling directly back" と呼ばれる性質を満たす特定の環に対してこの用語を用いている[9]。
環の公理論的定義を始めて与えたのは、フレンケルで、Journal fur die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914. におけるエッセイの中で述べている[2][10]。1921年にはネーターが、彼女の記念碑的論文「環のイデアル論」において、可換環論の公理的基礎付けを初めて与えている[2]。

つづく