ニワトリにはこっちのほうが分かりやすいか
http://eurekagap.up.seesaa.net/image/ordinals_and_cardinals.pdf

「Definition 1.2.1.
　集合 x が推移的（transitive）であるとは，
　∀v(v ∈ x → v ⊆ x)
　となることである．
　これは x の元の元もまた x に属しているということである．」

いっとくが∀v(v ∈ x → v ⊆ x)は公理ではない
∀v(v ∈ x → v ⊆ x)が成り立つ集合xを
推移的だといってるだけ

「Definition 1.2.2.
　推移的かつ ∈ によって整列順序づけされる集合を
　順序数（ordinal）とよぶ」

「α, β, γ, . . . などのギリシャ文字で順序数を表す．
　また，α ∈ β を α < β と書き，
　α ∈ β または α = βであることを
　α ? β と書くことにする．
　Lemma 1.2.7. 任意の順序数 α, β に対して α ? β ⇔ α ⊆ β．」

ほら、「任意の順序数 α, β に対して」とあるだろ
決して「任意の集合x,yに対してx ∈ y ⇔ x ⊂ y」なんて書いてないｗ

集合論のどの公理で
「任意の集合xは順序数である
　つまり任意の集合xは推移的かつ ∈ によって整列順序づけされる」
なんて証明されるんだよｗ

選択公理とかいうなよ　笑われるからｗｗｗｗｗｗｗ