>>163 追加
（下記、藤田先生）
「要素所属関係∈」
とか
「モストフスキの崩壊定理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる」
とか
公理的集合論では、「要素所属関係∈」は、”ヒトの集合論の肝”ですよ（＾＾；

（参考：藤田 博司先生（＾＾； ）
http://tenasaku.com/academia/notes/weakly-compact-survey.pdf
弱コンパクト基数
藤田 博司
起稿:2009 年 1 月 30 日
脱稿:2009 年 2 月 14 日最終組版日 2010 年 7 月 6 日 (time: 1041)
概要
弱コンパクト基数について勉強したことのまとめです. 新しいオリジナルな結果はありません.
(抜粋)
P19
B が集合論の言語L(∈) あるいはその拡張言語に対応する数学的構造, A が
その部分モデルで, しかも上記の条件(EX) が成立しているならば, B はA の終端拡大(end-extension) で
あるといいます.

定理3.5 k を弱コンパクト基数, A をVk の任意の部分集合とする. このとき, 構造(Vk,∈,A) は整礎的な初等
終端拡大をもつ. とくに, 推移的集合M とその部分集合A' が存在して, k ∈ M, かつ(Vk,∈,A) < (M, ∈,A')
となる.
[証明] 集合論の言語L(∈) に, 集合A をあらわす一項述語記号A と, Vk の各要素x をあらわす定数記号
cx, それと, “新しい順序数” をあらわす定数記号c* を添加した拡張言語L' を考えよう.

M の要素所属関係∈* が整礎的であることは, 次のL'k,k文:
略
が　(V,∈) で成立しており, したがって(M, ∈*) でも成立することによってわかる. モストフスキの崩壊定
理により, 外延性公理の整礎的モデルは推移的集合の∈-構造と同型になる. そこで, M は推移的集合, ∈* はホ
ンモノの∈-関係であるとしても一般性は損なわれない. Vk が推移的集合であることから, このとき, x* = x
が成立し, (M, ∈,A') は(Vk,∈,A) の初等拡大モデルとなる.