メモ
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elecello.com 近藤 友祐 (KONDO, Yusuke)
所属： 神戸大学 大学院システム情報学研究科 情報科学専攻 情報基礎講座 情報数理グループ(CS32) 博士課程前期課程
つくったもの集合論ノート
公理的集合論の話題を断片的に。 話題の順序には特に意味もなく，self-containedでもないし体系的でもありません。 小さなミスから致命的なミスまで，間違いが多く混入していると思います。これらのPDFの内容を鵜呑みにしないでください。
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集合論ノート 0005 モストフスキ崩壊補題 (Mostowski Collapse Lemma) 近藤友祐 初稿: 2018/02/22 更新: 2019/09/16

本稿では，集合論の推移的 ∈-モデルを作るにあたって重要な，モストフスキ崩壊補題について述べる．

系7 (集合版モストフスキ崩壊補題). 二項関係R が集合A 上整礎かつ外延的であると仮定する．このと
き，(A,R)〜= (M, ∈) を満たす推移的集合M がただ一つ存在する．

次の系は，例えば強制法においてZFC の十分大きな部分を満たす可算推移モデルをとって云々する流儀に
おいて有用である．反映原理でZFC のデカい部分のモデルをとり，レーヴェンハイム＝スコーレムでサイズ
を可算に落とし，モストフスキで潰して推移的にし，ラショーヴァ＝シコルスキの補題でジェネリックフィル
ターをとる，という流れは必殺技のコンボっぽくてカッコいい．

系8 (∈-モデルに関するモストフスキ崩壊補題). 基礎の公理を仮定する．(A, ∈) |= 外延性公理ならば，
同型(A, ∈)〜= (M, ∈) を成り立たせる推移的集合M が唯一つ存在する．

系9. 任意の整列集合に対し，それと順序同型な順序数が一意に存在する．したがって整列集合(X,<)
の順序型type(X,<) を，”(X,<) と順序同型な唯一の順序数” として定めることができる．