>>417
つづき

ここで、この演算が「剰余類に対する演算」としてきちんと定義されていることは、
結果（和や積）として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないこと、
すなわち、a1, b1, a2, b2 を [a1] = [b1] かつ [a2] = [b2] を満たす任意の整数とすれば、
[a1+a2]=[b1+b2], [a1 x a2]=[b1 x b2]
が成り立つことから確認できる。

3 を法とする剰余類環
法 3 に関する剰余類は
・0 :=[0]={・・・ ,-6,-3;0,3,6,9,12,・・・ }: 3 で割り切れるもの
・1 :=[1]={・・・ ,-5,-2;1,4,7,10,13,・・・ }: 3 で割って 1 余るもの
・2 :=[2]={・・・ ,-4,-1;2,5,8,11,14,・・・ }: 3 で割って 2 余るもの
の三種類である。ここでたとえば、1 + 2 を計算したいときは、4 ∈ 1 および 8 ∈ 2 で 4 + 8 = 12 ∈ 0 だから 1 + 2 = 3 とすればよい。このようにして Z/3Z = {0, 1, 2} における演算表
が得られる。(Z/3Z, +, ×) は環であり、この場合さらに体となり、F3 で表される（英語で体を意味する "field" に由来）。

4 を法とする剰余類環
もうひとつ、法 4 に関する剰余類を考えよう。Z/4Z = {0, 1, 2, 3} は
・0 ={・・・ ,-4;0,4,8,12,16,・・・ }
・1 ={・・・ ,-3;1,5,9,13,17,・・・ }
・2 ={・・・ ,-2;2,6,10,14,18,・・・ }
・{3} ={・・・ ,-1;3,7,11,15,19,・・・ }
で与えられる。この剰余類の乗法では 2 × 2 = 0 となり、2 は零因子である。
したがって、Z/4Z ＼ 0 は乗法について閉じていない。
このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は（4 を法とする剰余類環として）可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない（位数 4 の有限体 F4 は存在するにも関わらず、である）。

一般化
剰余類の概念は整数環ではないほかの環に対しても考えることができる。
イデアルの概念を定義して、イデアルを法とする剰余類を構成すれば、それらの全体は再び環を成し、環のイデアルによる剰余（類）環あるいは商環と呼ばれる。

つづく